Stosunek wyrazów sumy ciągu
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Stosunek wyrazów sumy ciągu
Wykaż, że w dowolnym ciągu geometrycznym zbieżnym o ilorazie \(\displaystyle{ q}\) stosunek sumy kolejnych wyrazów ciągu sum wynosi \(\displaystyle{ \frac{1-q}{q}}\).
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Stosunek wyrazów sumy ciągu
Wyrażenie „stosunek sumy kolejnych wyrazów ciągu sum" urąga regułom składni języka polskiego. Pozdro, z fartem.
Dodano po 5 minutach 53 sekundach:
Czy chodzi o wyrażenie
\(\displaystyle{ \frac{S_{n+1}}{S_{n}}}\), gdzie \(\displaystyle{ S_{n}}\) jest sumą \(\displaystyle{ n}\) początkowych wyrazów ciągu?
Dodano po 5 minutach 53 sekundach:
Czy chodzi o wyrażenie
\(\displaystyle{ \frac{S_{n+1}}{S_{n}}}\), gdzie \(\displaystyle{ S_{n}}\) jest sumą \(\displaystyle{ n}\) początkowych wyrazów ciągu?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Stosunek wyrazów sumy ciągu
Tylko wtedy to przeważnie nie jest prawda, ponieważ jeśli oznaczymy iloraz przez \(\displaystyle{ q}\), przy czym z treści zadania \(\displaystyle{ |q|<1}\) (dla ciągu stałego od razu widać, że nie działa), to mamy
\(\displaystyle{ \frac{S_{n+1}}{S_{n}}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q^{n}}}\), a to dąży do \(\displaystyle{ 1}\), a gdy \(\displaystyle{ q\neq \frac{1}{2}}\), to \(\displaystyle{ \frac{1-q}{q}\neq 1}\). Mamy wszak
\(\displaystyle{ S_{n}=a_{0}\frac{1-q^{n}}{1-q}}\) lub przy numeracji od \(\displaystyle{ 1, \ S_{n}=a_{1}\frac{1-q^{n}}{1-q}}\).
Prawdopodobnie chodziło o coś innego, ale niepoprawne językowo sformułowanie uniemożliwiło mi zrozumienie treści.
\(\displaystyle{ \frac{S_{n+1}}{S_{n}}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q^{n}}}\), a to dąży do \(\displaystyle{ 1}\), a gdy \(\displaystyle{ q\neq \frac{1}{2}}\), to \(\displaystyle{ \frac{1-q}{q}\neq 1}\). Mamy wszak
\(\displaystyle{ S_{n}=a_{0}\frac{1-q^{n}}{1-q}}\) lub przy numeracji od \(\displaystyle{ 1, \ S_{n}=a_{1}\frac{1-q^{n}}{1-q}}\).
Prawdopodobnie chodziło o coś innego, ale niepoprawne językowo sformułowanie uniemożliwiło mi zrozumienie treści.
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Stosunek wyrazów sumy ciągu
Już rozwiązałem poprawnie sformułowane zadanie. Chodziło o stosunek wyrazu ciągu do sumy kolejnych wyrazów tego ciągu, tj
\(\displaystyle{ \frac{a_n}{S-S_n}}\)
Dziękuję bardzo za pomoc i przepraszam za zamieszanie.
\(\displaystyle{ \frac{a_n}{S-S_n}}\)
Dziękuję bardzo za pomoc i przepraszam za zamieszanie.
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Stosunek wyrazów sumy ciągu
To nie jest "stosunek (...) do sumy kolejnych wyrazów ciągu". Prędzej stosunek wyrazów ciągu do sumy ogonów (tak się chyba mówi?) ciągu zaczynających się za tym wyrazem. Tak czy siak lepiej nie kombinować i po prostu symbolami zapisać, o co nam chodzi.
-
- Administrator
- Posty: 34232
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Stosunek wyrazów sumy ciągu
Prove that if \(\displaystyle{ a_n \ \ , n\in\mathbb{N}_+}\) is a converging geometric sequence, then the ratio of every term to the sum of all the consequtive terms is \(\displaystyle{ \frac{1-q}{q}}\).
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Stosunek wyrazów sumy ciągu
No to chodzi tutaj o \(\displaystyle{ \frac{a_{n}}{\sum_{k=n+1}^{\infty}a_{k}}=\frac{1-q}{q}}\), tak jak pisał Gosda. I o ile zna się wzór na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego, to zadanie jest nawet poniżej poziomu matury. Sformułowanie z ogonem (częste w akademickim RP) ładne, daję papieską okejkę.