Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 12 gru 2019, o 00:00
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy
Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące
Znajdź wzór jawny ciągu, którego funkcja tworząca to:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{3x}{1-2x} + 5}\)
Próbowałem na wiele sposobów, ale żadnym nie byłem wstanie dojść do czegokolwiek
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{3x}{1-2x} + 5}\)
Próbowałem na wiele sposobów, ale żadnym nie byłem wstanie dojść do czegokolwiek
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące
A czy widzisz, że szukanym ciągiem jest ciąg współczynników w rozwinięciu funkcji \(\displaystyle{ f}\) w szereg Maclaurina?
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 12 gru 2019, o 00:00
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy
Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące
Nie wiedziałem, ale mimo to nadal nie wiem jak to zrobić, nigdy nie robiliśmy żadnych zadań z tego typu szeregami
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące
Jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ \left< a_n \right>}\), to z definicji
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n}\),
a to znaczy, że prawa strona jest szeregiem Maclaurina funkcji \(\displaystyle{ f}\).
Aby wyznaczyć to rozwinięcie, najpierw rozwiń ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{1-2x}}\), traktując go jak sumę nieskończonego ciągu geometrycznego.
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n}\),
a to znaczy, że prawa strona jest szeregiem Maclaurina funkcji \(\displaystyle{ f}\).
Aby wyznaczyć to rozwinięcie, najpierw rozwiń ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{1-2x}}\), traktując go jak sumę nieskończonego ciągu geometrycznego.
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 12 gru 2019, o 00:00
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy
Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące
Takie rzeczy to od razu przekształcaliśmy jako \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} 1\cdot(2x)^n}\), chociaż chyba już rozumiem jak to powinno być zrobione, jednak liczenie pochodnych z tego wydaje się drogą przez mękę, a zadanie "teoretycznie" powinno być dość krótkie.Dasio11 pisze: ↑15 sty 2020, o 20:08 Jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ \left< a_n \right>}\), to z definicji
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n}\),
a to znaczy, że prawa strona jest szeregiem Maclaurina funkcji \(\displaystyle{ f}\).
Aby wyznaczyć to rozwinięcie, najpierw rozwiń ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{1-2x}}\), traktując go jak sumę nieskończonego ciągu geometrycznego.
Ostatnio zmieniony 15 sty 2020, o 23:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: od razu.
Powód: Poprawa wiadomości: od razu.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące
To właśnie sposób, o którym piszę, bo równość
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n}\)
wynika wprost ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego.
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 12 gru 2019, o 00:00
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy
Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące
To wiem, natomiast nadal nie wiem, jak powinno być zrobione to zadanie, nie chodzi mi o odpowiedź, tylko krok po kroku jak to powinno wyglądać :/
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące
Wyznaczyłeś już rozwinięcie w szereg potęgowy funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{1-2x}}\), a potrzebujesz wyznaczyć rozwinięcie \(\displaystyle{ \frac{3x}{1-2x} + 5}\). Masz jakiś pomysł, jak to zrobić?
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 12 gru 2019, o 00:00
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy
Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące
ehhh, pisałem że PRÓBOWAŁEM ale nie potrafie bo cały czas mi wychodzą rzeczy z ktorymi nic nie potrafie zrobić, więc dlatego proszę tutaj żeby ktoś mi pokazał jak zrobić KONKRETNIE ten przykład, a nie jak rozwiązywać tego typu zadania (bo większość potrafie zrobić tylko z tym mam problem)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące
Pisałeś o tym w odniesieniu do całego zadania, a sądziłem, że dojście do tego jaką operację należy wykonać, żeby przekształcić \(\displaystyle{ \frac{1}{1-2x}}\) w \(\displaystyle{ \frac{3x}{1-2x} + 5}\), nie sprawi Ci problemu. Ale jeśli sprawia, to proszę:
\(\displaystyle{ \begin{align*}
\frac{1}{1-2x} \phantom{ \: + \: 5} & = \sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} 2^n \cdot x^n & \Big| \cdot 3x \\[1ex]
\frac{3x}{1-2x} \phantom{ \: + \: 5} & = \sum_{n=0}^{\infty} 3 \cdot 2^n \cdot x^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} 3 \cdot 2^{n-1} \cdot x^n & \Big| +5 \\[1ex]
\frac{3x}{1-2x}+5 & = 5 \cdot x^0 + \sum_{n=1}^{\infty} 3 \cdot 2^{n-1} \cdot x^n
\end{align*}}\)
czyli \(\displaystyle{ f(x)}\) jest funkcją tworzącą ciągu
\(\displaystyle{ a_n = \begin{cases} 5 & \text{dla } n = 0 \\ 3 \cdot 2^{n-1} & \text{dla } n > 0 \end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 12 gru 2019, o 00:00
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy
Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące
oo i o to mi chodziło, nie wiedziałem co zrobić z tą 5'tką, a jednak okazało się że nie jest takie trudne jakie mi się wydawało Dziękuje!
Ostatnio zmieniony 16 sty 2020, o 18:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej?
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej?