Pokaż, że moc zbioru \(\displaystyle{ Z = \left\{ x \in \RR: (\exists n \in \NN) ( x ^{n} \in \QQ) \right\} = \aleph_0}\).
Zaczęłam od ograniczenia od dołu, tzn. wzięłam sobie podzbiór \(\displaystyle{ A \subseteq Z}\), że \(\displaystyle{ x \in \NN}\), wówczas \(\displaystyle{ (\forall x \in \NN)(\exists n \in \NN)(x ^{n} \in \QQ) }\), zatem \(\displaystyle{ \left| A\right|=\left| \NN\right| = \aleph_0 }\), stąd \(\displaystyle{ \left| \NN\right| \le \left| Z\right| }\). Nie wiem jak ograniczyć ten zbiór z góry, a może trzeba to zrobić kompletnie inaczej?
Moc zbioru
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Moc zbioru
Z góry można by ograniczyć przez \(\displaystyle{ \text{liczby algebraiczne}}\) wszak \(\displaystyle{ Z \subseteq \text{liczby algebraiczne}}\) a \(\displaystyle{ \left| \text{liczby algebraiczne}\right|= \aleph_0}\) co dowodzi tezy.
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Moc zbioru
.
Jak zbiór, to zbiór, jak moc zbioru, to moc zbioru, ale nie jedno z drugim. Czyli \(\displaystyle{ Z = \left\{ x \in \RR: (\exists n \in \NN) ( x ^{n} \in \QQ) \right\} }\) i \(\displaystyle{ \left| Z\right| = \aleph_0}\).
.Nuna pisze: ↑15 sty 2020, o 22:09Zaczęłam od ograniczenia od dołu, tzn. wzięłam sobie podzbiór \(\displaystyle{ A \subseteq Z}\), że \(\displaystyle{ x \in \NN}\), wówczas \(\displaystyle{ (\forall x \in \NN)(\exists n \in \NN)(x ^{n} \in \QQ) }\), zatem \(\displaystyle{ \left| A\right|=\left| \NN\right| = \aleph_0 }\),
Nie rozumiem. Używasz jakiegoś zbioru \(\displaystyle{ A}\), ale domyślić się co to za zbiór nie jest łatwo.
No i prościej jest zauważyć po prostu, że \(\displaystyle{ \NN \subseteq Z}\)...
Po pierwsze tezy dowodzi dopiero zastosowanie tw. Cantora-Bernsteina. Po drugie, musisz móc korzystać z faktu, że zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny.Janusz Tracz pisze: ↑15 sty 2020, o 22:22Z góry można by ograniczyć przez \(\displaystyle{ \text{liczby algebraiczne}}\) wszak \(\displaystyle{ Z \subseteq \text{liczby algebraiczne}}\) a \(\displaystyle{ \left| \text{liczby algebraiczne}\right|= \aleph_0}\) co dowodzi tezy.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 58 razy
Re: Moc zbioru
Dziękuję bardzo za odpowiedzi, rzeczywiście na samym początku popełniłam gafę, przyrównując zbiór do \(\displaystyle{ \aleph_0}\), no i naturalnie, można było od razu napisać \(\displaystyle{ \NN \subseteq Z}\)... Czy mogę używać faktu, że liczby algebraiczne są przeliczalne nie wiem, na wykładzie/ ćwiczeniach w ogóle one się nie pojawiły, ale zadanie robię dla własnego treningu, więc co potrzebuję, doczytam
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Moc zbioru
Skrót myślowy na który sobie pozwoliłem widząc, że Nuna orientuje się w tym co piszę i szuka ograniczenia górnego niejako dążąc do zastosowania tw. Cantora-Bernsteina niemniej jednak fakt faktem dopiero powołując się na tw. Cantora-Bernsteina dowód zostaje zakończony. Zatem uwaga jest jak najbardziej słuszna, dziękuję.Po pierwsze tezy dowodzi dopiero zastosowanie tw. Cantora-Bernsteina.
Założyłem, że mogę Ale skoro...Po drugie, musisz móc korzystać z faktu, że zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny.
to chętnie doprecyzuję. Liczby algebraiczne to zbiór takich liczb dla których istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych który znika (zeruje się) na nich (oczywiście nie na wszystkich na raz tylko dla każdej liczby z ów zbiory istnieje odpowiedni wielomian). Formalną definicję znajdzieszCzy mogę używać faktu, że liczby algebraiczne są przeliczalne nie wiem, na wykładzie/ ćwiczeniach w ogóle one się nie pojawiły
https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_algebraiczne
. Więc generalnie idea pokazania nieprzeliczalności liczb algebraicznych opiera się na pokazaniu, że jest przeliczalnie wiele wielomianów z całkowitymi współczynnikach. A idee tego dowodu można z kolei oprzeć na przeliczalnej ilości wielomianów o współczynnikach naturalnych rozważając odwzorowanie ze zbioru wielomianów w \(\displaystyle{ \NN}\) daje jako: \(\displaystyle{ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\mapsto 2^{a_0}3^{a_{1}} \cdot ... \cdot p_{n+1}^{a_n}}\)
korzystając z jednoznaczności rozkładu dostajemy jednoznaczne przypisanie wielomianu o naturalnych współczynnikach do liczby naturalnej. Oczywiście niedogodnością jest fakt, że są to jedynie wielomiany o naturalnych współczynnikach a nie całkowitych. Są to jednak niedogodności które stosunkowo łatwo naprawić np. kodując informację o znaku liczb \(\displaystyle{ a_i}\). Dokładniej jest to opisane
https://www.math.arizona.edu/~glickenstein/math323s13/hw10sol.pdf
PS Nie wykluczam, że przedstawiony szkic rozwiązania zadanie nie jest "najładniejszy" choć innego nie widzę. Być może istnieje rozwiązanie szybsze i łatwiejsze. A może nawet jawnie by się znalazła bijekcja \(\displaystyle{ \phi:Z \rightarrow \NN}\)
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Moc zbioru
Ups!Janusz Tracz pisze: ↑15 sty 2020, o 23:11Więc generalnie idea pokazania nieprzeliczalności liczb algebraicznych opiera się na pokazaniu, że jest przeliczalnie wiele wielomianów i całkowitych współczynnikach.
A nie prościej pokazać, że zbiór wielomianów o współczynnikach całkowitych rozbija się na przeliczalną sumę zbiorów, z których każdy składa się z wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) dla kolejnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\)? Z kolei taki pojedynczy zbiór wielomianów jest w prosty sposób bijektywny z \(\displaystyle{ \ZZ^{n+1}}\) poprzez naturalne utożsamienie wielomianu z ciągiem współczynników (ew. dopisując zera z przodu), a zbiór \(\displaystyle{ \ZZ^{n+1}}\) jest przeliczalny jako skończony produkt zbiorów przeliczalnych?Janusz Tracz pisze: ↑15 sty 2020, o 23:11PS Nie wykluczam, że przedstawiony szkic rozwiązania zadanie nie jest "najładniejszy" choć innego nie widzę. Być może istnieje rozwiązanie szybsze i łatwiejsze.
JK
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Moc zbioru
Właśnie o to chodzi. Dowód, że zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny jest dość nietrywialny, więc gdyby okazało się, że musisz najpierw pokazać przeliczalność zbioru liczb algebraicznych, to może okazać się, że to gra niewarta świeczki i lepiej poszukać prostszego oszacowania z góry.
Wersja (wg mnie) prostsza:
Zauważ, że \(\displaystyle{ Z= \bigcup_{n\in\NN} Z_n}\), gdzie \(\displaystyle{ Z_n=\left\{ x \in \RR: x ^{n} \in \QQ \right\}}\). Wystarczy zatem pokazać, że \(\displaystyle{ \left| Z_n\right|=\aleph_0 }\) dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\) i skorzystać z tw. o sumie przeliczalnie wielu zbiorów przeliczalnych. Z kolei nie jest trudno pokazać, że funkcja
\(\displaystyle{ \varphi_n:Z_n\to\QQ,\ \varphi_n(x)=x^{n}}\)
jest bijekcją dla nieparzystych \(\displaystyle{ n}\), więc \(\displaystyle{ \left| Z_n\right|=\aleph_0 }\) dla nieparzystych \(\displaystyle{ n}\). Z kolei dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych funkcje
\(\displaystyle{ \psi^1_n:Z_n\cap[0,+\infty)\to\QQ\cap[0,+\infty),\ \varphi_n(x)=x^{n}\\
\psi^2_n:Z_n\cap(-\infty,0]\to\QQ\cap[0,+\infty),\ \varphi_n(x)=x^{n}}\)
są bijekcjami, więc zbiór \(\displaystyle{ Z_n}\) jest sumą dwóch zbiorów przeliczalnych i także dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych mamy \(\displaystyle{ \left| Z_n\right|=\aleph_0 }\).
JK