Obliczyć sumę i iloczyn wszystkich zespolonych rozwiązań równania:

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
barber29
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 sty 2020, o 18:20
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30

Obliczyć sumę i iloczyn wszystkich zespolonych rozwiązań równania:

Post autor: barber29 » 14 sty 2020, o 18:28

Witam tak jak w temacie, obliczyć sumę i iloczyn wszystkich zespolonych rozwiązań równania \(\displaystyle{ z^5=-32i.}\)
Ostatnio zmieniony 14 sty 2020, o 19:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7654
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 231 razy
Pomógł: 3018 razy

Re: Obliczyć sumę i iloczyn wszystkich zespolonych rozwiązań równania:

Post autor: kerajs » 14 sty 2020, o 18:52

Równanie:
\(\displaystyle{ z^5+i32=0}\)
można zapisać jako:
\(\displaystyle{ (z-z_1)(z-z_3)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)=0}\)
stąd:
\(\displaystyle{ z_1z_2z_3z_4z_5=-i32\\
z_1+z_2+z_3+z_4+z_5=0}\)

barber29
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 sty 2020, o 18:20
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30

Re: Obliczyć sumę i iloczyn wszystkich zespolonych rozwiązań równania:

Post autor: barber29 » 14 sty 2020, o 19:39

Wolfram daje inny wynik.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7654
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 231 razy
Pomógł: 3018 razy

Re: Obliczyć sumę i iloczyn wszystkich zespolonych rozwiązań równania:

Post autor: kerajs » 15 sty 2020, o 07:28

Najchętniej napisałbym: WOLFRAM KŁAMIE, lecz prawda jest bardziej prozaiczna. Tu zawiódł czynnik ludzki, czyli coś błędnie przepisałeś/ wpisałeś/odczytałeś/ zinterpretowałeś/ ... .

Skoro eleganckie porównanie wielomianów Cię nie przekonuje, to trzeba coś policzyć.
\(\displaystyle{ z^5=-32i \\
z=-2i \cdot \sqrt[5]{1}\\
z_0=-2i=2(\cos ( \frac{- \pi }{2} )+ i\sin ( \frac{- \pi }{2} ))=2e^{i ( \frac{- \pi }{2} )} \\
z_1=2(\cos ( \frac{- \pi }{2} + \frac{2 \pi }{5} )+ i\sin ( \frac{- \pi }{2} + \frac{2 \pi }{5} ))=2e^{i ( \frac{- \pi }{2}+\frac{2 \pi }{5} )} \\
z_2=2(\cos ( \frac{- \pi }{2} + \frac{4 \pi }{5} )+ i\sin ( \frac{- \pi }{2} + \frac{4 \pi }{5} ))=2e^{i ( \frac{- \pi }{2}+\frac{4 \pi }{5} )} \\
z_3=2(\cos ( \frac{- \pi }{2} + \frac{6 \pi }{5} )+ i\sin ( \frac{- \pi }{2} + \frac{6 \pi }{5} ))=2e^{i ( \frac{- \pi }{2}+\frac{6 \pi }{5} )} \\
z_4=2(\cos ( \frac{- \pi }{2} + \frac{8 \pi }{5} )+ i\sin ( \frac{- \pi }{2} + \frac{8 \pi }{5} ))=2e^{i ( \frac{- \pi }{2}+\frac{8 \pi }{5} )} }\)


Iloczyn :
\(\displaystyle{ z_0z_1z_2z_3z_4=2e^{i ( \frac{- \pi }{2} )} \cdot 2e^{i ( \frac{- \pi }{2}+\frac{2 \pi }{5} )} \cdot 2e^{i ( \frac{- \pi }{2}+\frac{4 \pi }{5} )} \cdot 2e^{i ( \frac{- \pi }{2}+\frac{6 \pi }{5} )} \cdot 2e^{i ( \frac{- \pi }{2}+\frac{8 \pi }{5} )} =2^5e^{i ( 5 \cdot \frac{- \pi }{2}+\frac{(2+4+6+8) \pi }{5} )} =\\=32e^{i ( \frac{- \pi }{2}+ 2\pi )} =32e^{i ( \frac{- \pi }{2} )} =32(-i)=-i32}\)

Suma jest ciut dłuższa, więc powalcz z nią sam.
Użyteczne mogą (lecz nie muszą) być informacje:
Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ