Szanowni koledzy i koleżanki,
ostatnio spotkałem się z podanym zadaniem i nie potrafię go zrobić.
Treść: Niech
\(\displaystyle{ M = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 1\\
2 & 1 & -2 & -1
\end{bmatrix} }\)
i odwzorowanie \(\displaystyle{ f:\mathbb{R^{\text{2,2}}}\rightarrow \mathbb{R^\text{2,2}}}\) jest dane wzorem:
\(\displaystyle{ f(A) = M \cdot \begin{bmatrix}
A\\
A
\end{bmatrix}}\) dla \(\displaystyle{ A \in \mathbb{R^\text{2,2}}.}\)
(a) Zapisz macierz przekształcenia \(\displaystyle{ f}\) w bazie(\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}}\)) przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{2,2}}}\).
(b) Wyznacz bazy przestrzeni \(\displaystyle{ \ker f}\) oraz \(\displaystyle{ \Im f}\).
Pierwszy raz widzę na oczy przekształcenie liniowe przyjmujące macierze jako argumenty i nie rozumiem, jak ono powinno działać. Byłbym bardzo wdzięczny, gdyby ktoś to rozwiązał. Dodatkowo z tego, co rozumiem, to macierz takiego przekształcenie należy do \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{4,4}}}\), ponieważ wymiar \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{2,2}}}\) wynosi \(\displaystyle{ 2\cdot 2 = 4}\), więc jak możliwe jest przedstawić ją w bazie \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{2,2}}}\) ?
Macierz przekształcenia liniowego, baza jego obrazu i jądra.
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 14 sty 2020, o 00:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Macierz przekształcenia liniowego, baza jego obrazu i jądra.
Ostatnio zmieniony 14 sty 2020, o 01:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa TYLKO do wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa TYLKO do wyrażeń matematycznych.
-
- Administrator
- Posty: 34542
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Re: Macierz przekształcenia liniowego, baza jego obrazu i jądra.
Skoro jest to przekształcenie z przestrzeni macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) w nią samą (nawiasem mówiąc, oznaczenie \(\displaystyle{ \mathcal{M}_{2\times 2}(\RR)}\) wygląda jakoś lepiej niż \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{2,2}}}\)), to nic dziwnego, że argumentami są macierze. Żeby zobaczyć, jak działa, to wybierz sobie kilka przypadkowych macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) i policz wartości tej funkcji dla nich - może wtedy przestanie to być takie egzotyczne.
A dlaczego nie? Przecież baza \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{2,2}}}\) ma cztery elementy.maciek259 pisze: ↑14 sty 2020, o 00:55Dodatkowo z tego, co rozumiem, to macierz takiego przekształcenie należy do \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{4,4}}}\), ponieważ wymiar \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{2,2}}}\) wynosi \(\displaystyle{ 2\cdot 2 = 4}\), więc jak możliwe jest przedstawić ją w bazie \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{2,2}}}\) ?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 14 sty 2020, o 00:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Re: Macierz przekształcenia liniowego, baza jego obrazu i jądra.
Potrafię wyliczyć wartości przekształcenia dla bazy standardowej \(\displaystyle{ \displaystyle{ \mathcal{M}_{2\times 2}(\RR)}}\), ale otrzymuję z nich 4 kolejne macierze z \(\displaystyle{ \displaystyle{ \mathcal{M}_{2\times 2}(\RR)}}\). Gdyby to były wektory z \(\displaystyle{ \displaystyle{ \mathcal{M}_{n\times 1}(\RR)}}\), to wystarczyłoby wpisać je do wierszy macierzy i otrzymalibyśmy szukaną macierz, a tutaj właśnie mam problem, jak skonstruować taką macierz.Jan Kraszewski pisze: ↑14 sty 2020, o 01:57 Skoro jest to przekształcenie z przestrzeni macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) w nią samą (nawiasem mówiąc, oznaczenie \(\displaystyle{ \mathcal{M}_{2\times 2}(\RR)}\) wygląda jakoś lepiej niż \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{2,2}}}\)), to nic dziwnego, że argumentami są macierze. Żeby zobaczyć, jak działa, to wybierz sobie kilka przypadkowych macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) i policz wartości tej funkcji dla nich - może wtedy przestanie to być takie egzotyczne.
Tylko, że macierz z \(\displaystyle{ \displaystyle{ \mathcal{M}_{4\times 4}(\RR)}}\) ma 16 elementów i nie wiem, jak je "upchać" w macierz mającą 4 elementy.
Może z powodu późnej godziny, braku zrozumienia teoretycznego albo błędnego zrozumienia polecenia, ale po prostu nie widzę tego.
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 14 sty 2020, o 00:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Re: Macierz przekształcenia liniowego, baza jego obrazu i jądra.
Myślałem o tym i stworzyłem sobie taki izomorfizm.\(\displaystyle{ f\left ( \begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix} \right )= \begin{bmatrix}
a\\
b\\
c\\
d
\end{bmatrix}}\). Problem jest z tym, że dane w zadaniu przekształcenie daje dla bazy standardowej \(\displaystyle{ \mathcal{M}_{2\times 2}(\RR)}\) wartości: \(\displaystyle{ \left ( \begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
0 & 2\\
0 & 0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix} \right )}\). Jeśli potraktuję te wartości moim izomorfizmem, to wyjdą wektory liniowo zależne. Chyba nie o to Ci chodziło. Gdybym miał takim izomorfizmem potraktować argumenty przekształcenia danego w zadaniu, to nie rozumiem, jak zmienia się wzór naszego przekształcenia. Proszę o wytłumaczenie.
-
- Administrator
- Posty: 34542
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Re: Macierz przekształcenia liniowego, baza jego obrazu i jądra.
No i miodzio. Zauważ, żemaciek259 pisze: ↑14 sty 2020, o 11:55Problem jest z tym, że dane w zadaniu przekształcenie daje dla bazy standardowej \(\displaystyle{ \mathcal{M}_{2\times 2}(\RR)}\) wartości: \(\displaystyle{ \left ( \begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
0 & 2\\
0 & 0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix} \right )}\).
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\red{2}\cdot\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}+\red{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}+\red{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{bmatrix}+\red{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0 & 2\\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\green{0}\cdot \begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}+\green{2}\cdot \begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}+\green{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{bmatrix}+\green{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\blue{1}\cdot\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}+\blue{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}+\blue{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{bmatrix}+\blue{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\magenta{0}\cdot\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}+\magenta{1}\cdot \begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}+\magenta{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{bmatrix}+\magenta{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}}\)
zatem szukana macierz to
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
\red{2} & \green{0} & \blue{1} & \magenta{0} \\
\red{0} & \green{2} & \blue{0} & \magenta{1} \\
\red{0} & \green{0} & \blue{0} & \magenta{0} \\
\red{0} & \green{0} & \blue{0} & \magenta{0}
\end{bmatrix}}\)
JK