Wektory w równaniu prostej, okrąg

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
p13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 10 lis 2019, o 20:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 10 razy

Wektory w równaniu prostej, okrąg

Post autor: p13 » 12 sty 2020, o 18:53

]Cześć,
mam problem z tym zadaniem:

Znaleźć równanie prostej prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ 2y − 3x = 7}\) i stycznej do okręgu o środku w \(\displaystyle{ \left( 1, 1 \right) }\)
i przechodzącego przez punkt \(\displaystyle{ \left(4, 5\right)}\).

Wyznaczyłem z wektorów (tak muszę rozwiązać te zadanie ):
\(\displaystyle{ \left[ x - x_0 \right] \perp \left[ 2, -3 \right] }\)
oraz równanie okręgu:
\(\displaystyle{ \left( x - 1\right)^2 + \left(y - 1 \right)^2 = 5 }\)

Co mógłbym z tym dalej zrobić?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17531
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2955 razy

Re: Wektory w równaniu prostej, okrąg

Post autor: a4karo » 12 sty 2020, o 23:00

Jak koniecznie musisz użyć wektorów, to oblicz przy ich pomocy promień okręgu :)

A potem wykorzystaj fakt, że odległość prostej stycznej do okręgu od jego środka jest równa promieniowi.

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 707
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 136 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Wektory w równaniu prostej, okrąg

Post autor: Niepokonana » 12 sty 2020, o 23:09

Ja się nie znam, ale gdybym musiała to zrobić... Wektorami nie umiem, ale...
Najpierw zastanowiłabym się, jaka prosta jest prostopadła do podanej prostej. Nazwijmy szukaną prostą \(\displaystyle{ k}\).
Potem bym policzyła odległość \(\displaystyle{ k}\) od środka okręgu. Wiadomo, że prosta jest styczna do okręgu, gdy odległość prostej od środka okręgu jest równa promieniowi.

Dodano po 50 minutach 38 sekundach:
Chciałam zedytować, ale się nie dało.
Nie znam się, nie wiem, jak o zrobić wektorami. Pierwsze, co mi się wydaje. Napisać równanie jakiejkolwiek prostej \(\displaystyle{ k}\) prostopadłej do podanej prostej. Potem wykorzystać fakt, że prosta jest styczna do okręgu, jeżeli jej odległość od środka okręgu jest równa promieniowi.
Chociaż nie wiem, czy ten promień jest dobrze policzony.

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2522
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 355 razy

Re: Wektory w równaniu prostej, okrąg

Post autor: Dilectus » 13 sty 2020, o 00:51

Równanie

\(\displaystyle{ \displaystyle{ \left( x - 1\right)^2 + \left(y - 1 \right)^2 = 5 }}\)

jest prawidłowe.
Aby znaleźć równanie prostej prostopadłej do prostej

\(\displaystyle{ \displaystyle{ 2y − 3x = 7}}\),

napiszmy jej równanie kierunkowe, czyli równanie typu \(\displaystyle{ y=ax+b}\), bo prosta prostopadła do prostej o współczynniku kierunkowym \(\displaystyle{ a}\) ma współczynnik kierunkowy równy \(\displaystyle{ - \frac{1}{a} }\) (dlaczego?).

Zatem nasza prosta będzie miała równanie kierunkowe

\(\displaystyle{ y= \frac{3}{2} x+ \frac{7}{2} }\)

Szukana prosta prostopadła do danej będzie więc miała wsp. kier. równy ......

Poszukujemy wyrazu wolnego \(\displaystyle{ b}\)

Jak łatwo widać, będą dwie proste prostopadłe do danej prostej i styczne do okręgu, którego równanie znalazłeś, a więc dwie proste o tym samym wsp. kier. różniące się tylko wyrazem wolnym.

Żeby je znaleźć, trzeba rozwiązać układ równań złożony z równania okręgu i równania prostej o znanym wsp. kierunkowym i nieznanym wsp. \(\displaystyle{ b}\). Łatwo widać, że najłatwiej jest wstawić \(\displaystyle{ y}\) z równania prostej do r-nia okręgu. Otrzymujemy równanie kwadratowe ze względu na \(\displaystyle{ x}\), z parametrem, którym jest współczynnik kierunkowy \(\displaystyle{ b}\).
Jeżeli ten trójmian kwadratowy ma mieć jeden pierwiastek (bo proste mają być styczne do okręgu), to żądamy, żeby \(\displaystyle{ \Delta =0}\)

To doprowadzi nas do r-nia kwadratowego ze wzgl. na \(\displaystyle{ b}\). Jego rozwiązanie da nam dwa wyrazy wolne szukanych prostych.

:)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17531
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2955 razy

Re: Wektory w równaniu prostej, okrąg

Post autor: a4karo » 13 sty 2020, o 06:11

Dilectus pisze:
13 sty 2020, o 00:51
Równanie

\(\displaystyle{ \displaystyle{ \left( x - 1\right)^2 + \left(y - 1 \right)^2 = 5 }}\)

jest prawidłowe.
Sprawdź to jeszcze raz

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 707
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 136 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Wektory w równaniu prostej, okrąg

Post autor: Niepokonana » 13 sty 2020, o 08:32

Na moje oko, to to jest źle, bo naprawdę to promień okręgu wynosi \(\displaystyle{ 5}\), a według tego równania wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\). Dilectus, mój sposób jest prostszy, poza tym jest warunek na proste prostopadłe w równaniu ogólnym a nie kierunkowym, tylko ciężko go zapamiętać.
Przy czym to, co mamy to na razie nie jest równanie ogólne, bo nie mamy zera z żadnej strony równania.

Dwie proste opisane równaniami ogólnymi są prostopadłe, jeżeli iloczyn ich współczynników przy iksie jest liczbą przeciwną do iloczynu współczynników przy igreku. Tak będzie szybciej bez zamian na postać kierunkową.

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2522
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 355 razy

Re: Wektory w równaniu prostej, okrąg

Post autor: Dilectus » 13 sty 2020, o 13:01

Niepokonana pisze:
13 sty 2020, o 08:32
Na moje oko, to to jest źle, bo naprawdę to promień okręgu wynosi \(\displaystyle{ 5}\), a według tego równania wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\).
Masz rację, moja pomyłka, przepraszam. Promieniem jest przecież odległość między środkiem okręgu a punktem \(\displaystyle{ (4, \ 5)}\). Tak więc prawidłowym równaniem jest

\(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=25}\)

:)

ODPOWIEDZ