Klasy abstrakcji

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
wiktoriaziaja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 6 sty 2020, o 13:28
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Klasy abstrakcji

Post autor: wiktoriaziaja » 10 sty 2020, o 14:40

Opisz zbiór klas abstrakcji wyznaczonych przez relację R, podaj jego moc oraz moc jego elementów.

\(\displaystyle{ x,y \in \NN\\
xRy \Leftrightarrow \lbrace x \le 5 \wedge y \le 5 \wedge x=y \rbrace \vee \lbrace x>5 \wedge y>5 \wedge 2|x+y \rbrace }\)
Ostatnio zmieniony 10 sty 2020, o 15:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawne tagowanie.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26206
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4380 razy

Re: Klasy abstrakcji

Post autor: Jan Kraszewski » 10 sty 2020, o 15:37

wiktoriaziaja pisze:
10 sty 2020, o 14:40
\(\displaystyle{ x,y \in \NN\\
xRy \Leftrightarrow \lbrace x \le 5 \wedge y \le 5 \wedge x=y \rbrace \vee \lbrace x>5 \wedge y>5 \wedge 2|x+y \rbrace }\)
Nawiasy klamrowe w tym miejscu to zły pomysł, powinno być

\(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow \left( x \le 5 \wedge y \le 5 \wedge x=y \right) \vee \left( x>5 \wedge y>5 \wedge 2|x+y \right). }\)

Jaki masz problem z klasami abstrakcji? Jest ich osiem (lub siedem, jeśli \(\displaystyle{ 0\notin \NN}\)).

JK

wiktoriaziaja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 6 sty 2020, o 13:28
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Re: Klasy abstrakcji

Post autor: wiktoriaziaja » 10 sty 2020, o 23:43

Znam tylko definicję klasy abstrakcji ale nie wiem jak się zabrać za wyznaczanie

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5793
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1264 razy

Re: Klasy abstrakcji

Post autor: janusz47 » 11 sty 2020, o 11:03

Zakładamy, że podana w treści zadania relacja jest relacją równoważności. Dla ścisłości należało, by to udowodnić.

Zakładając, że jest to relacja równoważności \(\displaystyle{ \mathcal{R} \subset \NN\times \NN, }\) określona na dwóch zbiorach par liczb naturalnych:

- zbiorze par liczb naturalnych, z których każda jest nie większa od pięciu i które są równe ,

- zbiorze par liczb naturalnych, z których każda jest większa od pięciu i których suma jest liczbą parzystą.

Należy znaleźć podział tych dwóch zbiorów na tzw. klasy abstrakcji.

Klasą abstrakcji elementu \(\displaystyle{ x, \ \ [x]_{\mathcal{R}} }\) nazywamy zbiór \(\displaystyle{ \{ y: \ \ y\mathcal{R} x \} }\)

Dla pierwszego zbioru mamy pięć klas abstrakcji:

\(\displaystyle{ [0]_{\mathcal{R}} = \{0\} , \ \ [1]_{\mathcal{R}} = \{ 1\} , ..., [5]_{\mathcal{R}} = \{5\} }\)

Dla drugiego zbioru mamy dwie klasy abstrakcji:

-zbiór liczb naturalnych parzystych, większych od pięciu \(\displaystyle{ \NN_{par >5}, }\) bo suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą

-zbiór liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN \setminus \NN_{par>5} }\) - bo suma dwóch liczb naturalnych nieparzystych jest liczbą parzystą.

Mamy rzeczywiście osiem klas abstrakcji.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26206
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4380 razy

Re: Klasy abstrakcji

Post autor: Jan Kraszewski » 11 sty 2020, o 12:32

janusz47, mistrz gotowców... Znów nie dałeś pytającemu szansy, by sam do czegoś doszedł.
janusz47 pisze:
11 sty 2020, o 11:05
Zakładamy, że podana w treści zadania relacja jest relacją równoważności. Dla ścisłości należało, by to udowodnić.
Jeżeli w poleceniu nie jest to wymagane, to niekoniecznie.
janusz47 pisze:
11 sty 2020, o 11:05
Zakładając, że jest to relacja równoważności \(\displaystyle{ \mathcal{R} \subset \NN\times \NN, }\) określona na dwóch zbiorach par liczb naturalnych:
Niezależnie od dobrych intencji napisałeś nieprawdę. Te relacja nie jest "określona na dwóch zbiorach par liczb naturalnych", bo jest określona na dwóch zbiorach liczb naturalnych. Mówimy, że relacja \(\displaystyle{ R}\) jest określona na zbiorze \(\displaystyle{ X}\) gdy \(\displaystyle{ R \subseteq X \times X}\).
janusz47 pisze:
11 sty 2020, o 11:05
- zbiorze par liczb naturalnych, z których każda jest nie większa od pięciu i które są równe ,

- zbiorze par liczb naturalnych, z których każda jest większa od pięciu i których suma jest liczbą parzystą.
I tu konsekwentnie też napisałeś nieprawdę. Jednym ze zbiorów, na którym określona jest ta relacja jest zbiór liczb naturalnych nie większych od pięciu i na tym zbiorze jest ona zdefiniowana jako relacja równości, a drugim jest zbiór liczb naturalnych większych od pięciu i na tym zbiorze jest ona zdefiniowana jako relacja tej samej parzystości.
janusz47 pisze:
11 sty 2020, o 11:05
Należy znaleźć podział tych dwóch zbiorów na tzw. klasy abstrakcji.
I tu konsekwentnie napisałeś grubą nieprawdę, bo klasy abstrakcji tej relacji nie są zbiorami par liczb naturalnych, co wynikałoby z Twoich wywodów.

Potem podałeś poprawne klasy abstrakcji, ale dziewczyna poza zamieszaniem wynikającym z niepoprawnego początku niewiele z tego oprócz odpowiedzi wyniesie.

wiktoriaziaja, musisz zrozumieć, o co chodzi z klasami abstrakcji, jeżeli chcesz umieć je wyznaczać. Może przeczytaj najpierw to: Klasa abstrakcji

JK

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5793
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1264 razy

Re: Klasy abstrakcji

Post autor: janusz47 » 11 sty 2020, o 23:07

Nie zgadzam się z Pana z niezrozumiałymi uwagami.

Podanym przez Panią wiktorieziaję, zbiorom odpowiada 8 klas abstrakcji - 6 jednoelementowych i dwa podzbiory liczb naturalnych
\(\displaystyle{ \NN_{par >5} , \ \ \NN_{> 5} \setminus \NN_{par>5} }\) - wszystko.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26206
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4380 razy

Re: Klasy abstrakcji

Post autor: Jan Kraszewski » 11 sty 2020, o 23:18

janusz47 pisze:
11 sty 2020, o 23:07
Nie zgadzam się z Pana z niezrozumiałymi uwagami.
Nie dziwi mnie to. Skoro tego nie rozumiesz, to może nie pisz w tych tematach? Dość wyraźnie opisałem wszystkie nieprawdy, które wypisałeś.
janusz47 pisze:
11 sty 2020, o 23:07
Podanym przez Panią wiktorieziaję, zbiorom odpowiada 8 klas abstrakcji - 6 jednoelementowych i dwa podzbiory liczb naturalnych
\(\displaystyle{ \NN_{par >5} , \ \ \NN_{> 5} \setminus \NN_{par>5} }\) - wszystko.
Toż napisałem, że klasy abstrakcji podałeś prawidłowe, tylko wcześniej napisałeś dużo głupot. To bardziej szkodzi niż pomaga.

JK

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5793
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1264 razy

Re: Klasy abstrakcji

Post autor: janusz47 » 11 sty 2020, o 23:19

Definicja klasy abstrakcji patrz na przykład
Wiktor Marek i Janusz Onyszkiewicz. ELEMENTY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI W ZADANIACH. STRONA 44. PWN WARSZAWA 1975

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26206
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4380 razy

Re: Klasy abstrakcji

Post autor: Jan Kraszewski » 11 sty 2020, o 23:23

janusz47 pisze:
11 sty 2020, o 23:19
Definicja klasy abstrakcji patrz na przykład
Wiktor Marek i Janusz Onyszkiewicz. ELEMENTY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI W ZADANIACH. STRONA 44. PWN WARSZAWA 1975
Człowieku, znów to samo. Nie rozumiesz, co się do Ciebie mówi, tylko rzucasz tytułami książek. Nie ucz ojca dzieci robić.

Przeczytaj jeszcze raz uważnie, co Ci napisałem:
Jan Kraszewski pisze:
11 sty 2020, o 12:32
janusz47 pisze:
11 sty 2020, o 11:05
Zakładając, że jest to relacja równoważności \(\displaystyle{ \mathcal{R} \subset \NN\times \NN, }\) określona na dwóch zbiorach par liczb naturalnych:
Niezależnie od dobrych intencji napisałeś nieprawdę. Te relacja nie jest "określona na dwóch zbiorach par liczb naturalnych", bo jest określona na dwóch zbiorach liczb naturalnych. Mówimy, że relacja \(\displaystyle{ R}\) jest określona na zbiorze \(\displaystyle{ X}\) gdy \(\displaystyle{ R \subseteq X \times X}\).
janusz47 pisze:
11 sty 2020, o 11:05
- zbiorze par liczb naturalnych, z których każda jest nie większa od pięciu i które są równe ,

- zbiorze par liczb naturalnych, z których każda jest większa od pięciu i których suma jest liczbą parzystą.
I tu konsekwentnie też napisałeś nieprawdę. Jednym ze zbiorów, na którym określona jest ta relacja jest zbiór liczb naturalnych nie większych od pięciu i na tym zbiorze jest ona zdefiniowana jako relacja równości, a drugim jest zbiór liczb naturalnych większych od pięciu i na tym zbiorze jest ona zdefiniowana jako relacja tej samej parzystości.
janusz47 pisze:
11 sty 2020, o 11:05
Należy znaleźć podział tych dwóch zbiorów na tzw. klasy abstrakcji.
I tu konsekwentnie napisałeś grubą nieprawdę, bo klasy abstrakcji tej relacji nie są zbiorami par liczb naturalnych, co wynikałoby z Twoich wywodów.
JK

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5793
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1264 razy

Re: Klasy abstrakcji

Post autor: janusz47 » 12 sty 2020, o 10:07

Klasy abstrakcji ojcze wyznaczają podział zbioru. Patrz cytowany Zbiór zadań.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26206
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4380 razy

Re: Klasy abstrakcji

Post autor: Jan Kraszewski » 12 sty 2020, o 10:51

janusz47 pisze:
12 sty 2020, o 10:07
Klasy abstrakcji ojcze wyznaczają podział zbioru. Patrz cytowany Zbiór zadań.
A Ty swoje. No to wytłumaczę Ci jeszcze raz, skoro nie potrafisz zrozumieć, gdzie napisałeś nieprawdę w swoim poście. Może w końcu zrozumiesz.

Napisałeś:
janusz47 pisze:
11 sty 2020, o 11:05
Zakładając, że jest to relacja równoważności \(\displaystyle{ \mathcal{R} \subset \NN\times \NN, }\) określona na dwóch zbiorach par liczb naturalnych:
To zdanie jest niepoprawne. Prawdą jest, że \(\displaystyle{ R \subset \NN\times \NN, }\). Nieprawdą jest, że \(\displaystyle{ R}\) jest "określona na dwóch zbiorach par liczb naturalnych". To, że relacja \(\displaystyle{ R}\) jest zbiorem par liczb naturalnych nie oznacza, że jest określona na zbiorze par liczb naturalnych. To, że relacja \(\displaystyle{ R}\) jest określona na zbiorze \(\displaystyle{ X}\) oznacza, że \(\displaystyle{ R \subseteq X \times X}\), zatem rozważana relacja \(\displaystyle{ R}\) jest określona na zbiorze liczb naturalnych. I tu możemy rozważać dwa podzbiory zbioru liczb naturalnych, na których jest zadana odmiennymi warunkami. Natomiast nie możemy twierdzić, że jest określona na
janusz47 pisze:
11 sty 2020, o 11:05
- zbiorze par liczb naturalnych, z których każda jest nie większa od pięciu i które są równe ,
- zbiorze par liczb naturalnych, z których każda jest większa od pięciu i których suma jest liczbą parzystą.
bo to taka sama nieprawda, jak poprzednio. Popełniłeś dość typowy studencki błąd myląc zbiór będący relacją ze zbiorem, na którym ta relacja jest określona. Nie twierdzę, że nie wiesz, czym są klasy abstrakcji - ten błąd nie wynika z Twojej niewiedzy (bo klasy abstrakcji wyznaczasz - jak napisałem - poprawnie), ale z nieumiejętnej formalizacji Twojego spostrzeżenia. Problem polega na tym, że u osób, które - jak wiktoriaziaja - znają tylko definicje, taka błędna formalizacja może wywołać duże szkody, tym bardziej, że na końcu napisałeś:
janusz47 pisze:
11 sty 2020, o 11:05
Należy znaleźć podział tych dwóch zbiorów na tzw. klasy abstrakcji.
Zauważ, że jedynymi dwoma zbiorami, które pojawiły się w Twojej wypowiedzi w poprzednich linijkach są zbiory
\(\displaystyle{ \left\{ \left\langle n,m\right\rangle\in\NN \times \NN:n\le 5\land m\le 5\land n=m \right\} }\) ("zbiorze par liczb naturalnych, z których każda jest nie większa od pięciu i które są równe")
i
\(\displaystyle{ \left\{ \left\langle n,m\right\rangle\in\NN \times \NN:n> 5\land m> 5\land 2\mid n+m \right\} }\) ("zbiorze par liczb naturalnych, z których każda jest większa od pięciu i których suma jest liczbą parzystą").
Dalej uważasz, że stwierdzenie, iż należy "znaleźć podział tych dwóch zbiorów na tzw. klasy abstrakcji" jest poprawne? Przecież w dalszej części rozwiązania sam dzieliłeś na klasy abstrakcji zupełnie inne zbiory!

JK

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5793
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1264 razy

Re: Klasy abstrakcji

Post autor: janusz47 » 14 sty 2020, o 09:25

Ralacja \(\displaystyle{ \mathcal{R} \subset \NN \times \NN, }\) jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego \(\displaystyle{ \NN \times \NN }\) jest relacją dwuczłonową (dwuargumentową) . Z definicji iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów wynika, że jest to zbiór par uporządkowanych - w tym przypadku par uporządkowanych liczb naturalnych.

Pani wiktoriaziaja podała przykład relacji dwuczłonowej, dla której należało określić zbiór klas abstrakcji.

Na stronie 44 cytowanego wyżej podręcznika Wiktora Marka i Janusza Onyszkiewicza czytamy każda relacja równoważności \(\displaystyle{ \mathcal{R} \subset X^2 }\) wyznacza podział zbioru \(\displaystyle{ X }\) na tzw. klasy abstrakcji, klasą abstrakcji elementu \(\displaystyle{ x, \ \ [x]_{\mathcal{R}} }\) nazywamy zbiór \(\displaystyle{ \{ y: \ \ y\mathcal{R}x \}. }\)

Innymi słowy klasa abstrakcji, to zbiór poprzedników relacji \(\displaystyle{ \mathcal{R}.}\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26206
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4380 razy

Re: Klasy abstrakcji

Post autor: Jan Kraszewski » 14 sty 2020, o 13:55

janusz47 pisze:
14 sty 2020, o 09:25
Ralacja \(\displaystyle{ \mathcal{R} \subset \NN \times \NN, }\) jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego \(\displaystyle{ \NN \times \NN }\) jest relacją dwuczłonową (dwuargumentową) . Z definicji iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów wynika, że jest to zbiór par uporządkowanych - w tym przypadku par uporządkowanych liczb naturalnych.

Pani wiktoriaziaja podała przykład relacji dwuczłonowej, dla której należało określić zbiór klas abstrakcji.

Na stronie 44 cytowanego wyżej podręcznika Wiktora Marka i Janusza Onyszkiewicza czytamy każda relacja równoważności \(\displaystyle{ \mathcal{R} \subset X^2 }\) wyznacza podział zbioru \(\displaystyle{ X }\) na tzw. klasy abstrakcji, klasą abstrakcji elementu \(\displaystyle{ x, \ \ [x]_{\mathcal{R}} }\) nazywamy zbiór \(\displaystyle{ \{ y: \ \ y\mathcal{R}x \}. }\)
Ale to wszystko wiadomo i co do tego nie ma (i nie było) żadnych wątpliwości. Twój błąd polegał na czym innym.
janusz47 pisze:
14 sty 2020, o 09:25
Innymi słowy klasa abstrakcji, to zbiór poprzedników relacji \(\displaystyle{ \mathcal{R}.}\)
:?: :?:
A cóż to niby jest "poprzednik relacji"?

JK

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5793
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1264 razy

Re: Klasy abstrakcji

Post autor: janusz47 » 14 sty 2020, o 14:15

Zbiór następników relacji. Nie było wszystko wiadome. Były wątpliwości.

\(\displaystyle{ \langle x, y \rangle. \ \ x }\) - poprzednik pary uporządkowanej , \(\displaystyle{ y }\) - następnik pary uporządkowanej.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26206
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4380 razy

Re: Klasy abstrakcji

Post autor: Jan Kraszewski » 14 sty 2020, o 14:43

janusz47 pisze:
14 sty 2020, o 14:15
Zbiór następników relacji.
Nie ma czegoś takiego jak "następnik relacji"! Jest co najwyżej następnik ELEMENTU relacji.

Ale i tak sformułowanie "Innymi słowy klasa abstrakcji, to zbiór poprzedników ELEMENTÓW relacji \(\displaystyle{ \mathcal{R}.}\)" to koszmarek. Jeśli (jak w Twoim cytacie z Marka, Onyszkiewicza) mamy relację \(\displaystyle{ \mathcal{R} \subseteq X^2}\), to klasa abstrakcji tej relacji jest po prostu podzbiór zbioru \(\displaystyle{ X}\).
janusz47 pisze:
14 sty 2020, o 14:15
Nie było wszystko wiadome. Były wątpliwości.
Nie wątpliwości, tylko błędy.

JK

ODPOWIEDZ