Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Witam. Mam problem z liczeniem pola pod wykresem krzywej \(\displaystyle{ {y^2}=\frac{x^3}{2-x}}\)
Podstawiam wszystko do współrzędnych biegunowych otrzymując: \(\displaystyle{ r=\frac{2\sin^2x}{\cos x}}\)
Krzywa ta wygląda tak:
Problem polega na tym, że całka po współrzędnych biegunowych, \(\displaystyle{ \lim_{x \to {\pi \over 2}} \int_{0}^{ x}\left( \frac{2\sin^2 \alpha }{\cos \alpha }\right) ^2 d \alpha }\)
bierze tak jakby "zewnętrzną część" tej krzywej.
Tej całki nie da się policzyć, natomiast całka pod krzywą istnieje.
Policzyłem tę całkę parametrycznie o trzymałem wynik liczbowy, więc da się to zrobic parametrycznie, pytanie brzmi,
czy da się to zrobić biegunowo?
Ostatnio zmieniony 8 sty 2020, o 20:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Poprawa wiadomości.
Wciąż nie rozumiem na jakiej zasadzie ten promień miałby kiedykolwiek przeciąć prostą - przecież jest ona asymptotyczna do wykresu funkcji, chyba że chodzi Ci o przedłużenie promienia, no nic pomyślę jeszczę nad tym
a4karo pisze: ↑9 sty 2020, o 11:29
Dla ustalonego kąta `\varphi` mówię o promieniu, który wychodzi z poczatku ukłądu i jest nachylony do osi OX pod kątem `\vatphi`
Hmm, czyli rozumiem, że proponujesz liczyc normalną całkę na przedziale? Dodatkowo nie mogę się doszukać czym jest funkcja `\vatphi`.
Ja chciałem to zrobić ze wzoru biegunowego tj. \(\displaystyle{ 1/2 \int_{ \alpha }^{ \beta }{r}^{2}d\phi }\)
ok, czyli promień wypuszczony pod kątem `0` przetnie prostą `x=2` której współrzędne biegunowe są określone przez \(\displaystyle{ r={{\cos\theta} \over {2}}}\)
Muszę więc policzyć różnicę całki tej prostej w przedziale \(\displaystyle{ [0, \pi/2]}\) i całki którą napisałem wyżej. Czy to jest już poprawne rozwiązanie?
Równanie pierwszej krzywej wyliczyłeś poprawnie: \(\displaystyle{ r = r_1(\varphi) = \frac{2 \sin^2 \varphi}{\cos \varphi},}\) ale równanie prostej to \(\displaystyle{ r \cos \varphi = 2}\), czyli \(\displaystyle{ r_2(\varphi) = \frac{2}{\cos \varphi}}\).
A ponieważ obie funkcje są określone na przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right)}\) i mają w \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) granicę niewłaściwą - co widać też na wykresie - to i szukane pole wyraża się całką niewłaściwą