Kombinacje oraz zliczanie
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 19 lis 2018, o 13:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 14 razy
Kombinacje oraz zliczanie
Witam,
prosiłbym o sprawdzenie czy poprawnie rozwiązałem dwa zadania.
1. Ile jest różnych uporządkowanych czwórek (a, b, c, d) liczb naturalnych
a) dodatnich,
b) z których dokładnie jedna jest równa 0,
takich, że \(\displaystyle{ a+b+c+d = 12 }\)
a) \(\displaystyle{ {4 + 8 - 1 \choose 8} }\) - skoro wszystkie liczby są dodatnie, to w każdym "koszyczku" musi się znaleźć przynajmniej jeden element. Resztę rozdzielamy względem tego co zostało.
b) \(\displaystyle{ {3 + 9 - 1 \choose 9} \cdot 4 }\) - jedna z liczb jest zerowa, liczb jest łącznie 4. A więc liczbę kombinacji musimy dodatkowo pomnożyć przez 4
2. Ile jest różnych 10-elementowych ciągów
a) o wyrazach tworzących zbiór 3-elementowy
b) ternarnych, w których występuje: 5 liter a, 3 litery b i 2 litery c
a) \(\displaystyle{ 3^{10} }\) - ponieważ każdemu z argumentów możemy przypisać jedną z 3 wartości
b) tutaj mam wątpliwość, więc prosiłbym o szczególną uwagę oraz wyjaśnienie łopatologiczne jeśli popełniłem błąd
\(\displaystyle{ {10 \choose 5} \cdot {5 \choose 3} \cdot {2 \choose 2} }\)
Dlaczego tak? Na początek pierwsze 5 liter A ustawiamy w dowolnej kolejności pośród wszystkich dostępnych miejsc. Następnie 3 litery B ustawiamy pośród pozostałych wolnych miejsc, których jest teraz już tylko 5 (bo odpadło 5 miejsc zarezerwowanych dla A). I na końcu pozostaje nam C, które może wpaść już tylko w pozostałe dwa wolne sloty.
prosiłbym o sprawdzenie czy poprawnie rozwiązałem dwa zadania.
1. Ile jest różnych uporządkowanych czwórek (a, b, c, d) liczb naturalnych
a) dodatnich,
b) z których dokładnie jedna jest równa 0,
takich, że \(\displaystyle{ a+b+c+d = 12 }\)
a) \(\displaystyle{ {4 + 8 - 1 \choose 8} }\) - skoro wszystkie liczby są dodatnie, to w każdym "koszyczku" musi się znaleźć przynajmniej jeden element. Resztę rozdzielamy względem tego co zostało.
b) \(\displaystyle{ {3 + 9 - 1 \choose 9} \cdot 4 }\) - jedna z liczb jest zerowa, liczb jest łącznie 4. A więc liczbę kombinacji musimy dodatkowo pomnożyć przez 4
2. Ile jest różnych 10-elementowych ciągów
a) o wyrazach tworzących zbiór 3-elementowy
b) ternarnych, w których występuje: 5 liter a, 3 litery b i 2 litery c
a) \(\displaystyle{ 3^{10} }\) - ponieważ każdemu z argumentów możemy przypisać jedną z 3 wartości
b) tutaj mam wątpliwość, więc prosiłbym o szczególną uwagę oraz wyjaśnienie łopatologiczne jeśli popełniłem błąd
\(\displaystyle{ {10 \choose 5} \cdot {5 \choose 3} \cdot {2 \choose 2} }\)
Dlaczego tak? Na początek pierwsze 5 liter A ustawiamy w dowolnej kolejności pośród wszystkich dostępnych miejsc. Następnie 3 litery B ustawiamy pośród pozostałych wolnych miejsc, których jest teraz już tylko 5 (bo odpadło 5 miejsc zarezerwowanych dla A). I na końcu pozostaje nam C, które może wpaść już tylko w pozostałe dwa wolne sloty.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Kombinacje oraz zliczanie
Pierwsze masz niestety źle, gdyż Twoje rozwiązanie działa w nieujemnych, ale tu mamy dodatnie.
a) Rozpiszmy sobie \(\displaystyle{ 12=\overbrace{1+1+\ldots+1}^{12}}\). Pomiędzy tymi jedynkami jest jedenaście miejsc, w których możemy postawić nawias zamykający i wystarczy postawić trzy nawiasy zamykające, by rozdzielić na cztery niezerowe grupy, bowiem jedynki składające się na ostatnią liczbę będą występować po ostatnim nawiasie zamykającym. Zatem możliwości jest \(\displaystyle{ {11\choose 3}}\) – wybieramy trzy spośród jedenastu przerw, w które wstawimy nawiasy zamykające.
b) Najpierw na \(\displaystyle{ 4}\) sposoby wybieramy liczbę, która będzie równa zeru, a dalej na \(\displaystyle{ {11\choose 2}}\) sposobów przedstawiamy liczbę \(\displaystyle{ 12}\) w postaci sumy trzech uporządkowanych całkowitych dodatnich składników (rozumowanie jak poprzednio).
a) Rozpiszmy sobie \(\displaystyle{ 12=\overbrace{1+1+\ldots+1}^{12}}\). Pomiędzy tymi jedynkami jest jedenaście miejsc, w których możemy postawić nawias zamykający i wystarczy postawić trzy nawiasy zamykające, by rozdzielić na cztery niezerowe grupy, bowiem jedynki składające się na ostatnią liczbę będą występować po ostatnim nawiasie zamykającym. Zatem możliwości jest \(\displaystyle{ {11\choose 3}}\) – wybieramy trzy spośród jedenastu przerw, w które wstawimy nawiasy zamykające.
b) Najpierw na \(\displaystyle{ 4}\) sposoby wybieramy liczbę, która będzie równa zeru, a dalej na \(\displaystyle{ {11\choose 2}}\) sposobów przedstawiamy liczbę \(\displaystyle{ 12}\) w postaci sumy trzech uporządkowanych całkowitych dodatnich składników (rozumowanie jak poprzednio).
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 19 lis 2018, o 13:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 14 razy
Re: Kombinacje oraz zliczanie
Cześć,
Dziękuję za odpowiedź
Co do pierwszego w punkcie
A) Czy mój wynik nie jest identyczny? \(\displaystyle{ {11 \choose 8} }\) zdaje się wynosi tyle samo co \(\displaystyle{ {11 \choose 3} }\)
B) Jak powyżej \(\displaystyle{ {11 \choose 9}}\) nie jest tym samym co \(\displaystyle{ {11 \choose 2} }\) ?
Oczywiście mogę się mylić
Dziękuję za odpowiedź
Co do pierwszego w punkcie
A) Czy mój wynik nie jest identyczny? \(\displaystyle{ {11 \choose 8} }\) zdaje się wynosi tyle samo co \(\displaystyle{ {11 \choose 3} }\)
B) Jak powyżej \(\displaystyle{ {11 \choose 9}}\) nie jest tym samym co \(\displaystyle{ {11 \choose 2} }\) ?
Oczywiście mogę się mylić
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Kombinacje oraz zliczanie
A rzeczywiście, jaka beka ze mnie. xD Jest dobrze.
Dodano po 4 minutach 27 sekundach:
Drugie zadanie też jest poprawnie rozwiązane.
Dodano po 4 minutach 27 sekundach:
Drugie zadanie też jest poprawnie rozwiązane.
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 19 lis 2018, o 13:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 14 razy
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Kombinacje oraz zliczanie
Jeżeli każdy wyraz ciągu ma mieć elementy trzy to ta odpowiedź będzie zła i powinny być suriekcje...2a. o wyrazach tworzących zbiór 3-elementowy
Dodano po 6 minutach 6 sekundach:
Drugie jest ok ale warto dodać co do drugiego b , że to permutacje z powtórzeniami tak naprawdę...
Dodano po 3 minutach 23 sekundach:
nie podoba mi się to bo słowo uporządkowane może mieć wielorakie znaczenie , więc interpretacja może być szeroka...ile jest różnych uporządkowanych czwórek
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 19 lis 2018, o 13:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 14 razy
Re: Kombinacje oraz zliczanie
Rozumiem.
W 2 zadaniu w punkcie a) zakładałem że wpisujemy się W zbiór 3-elementowy. Dlatego też użyłem tutaj permutacji.
Pozostaje mi zatem konsultacja z prowadzącym o wytłumaczenie czy NA czy W
W 2 zadaniu w punkcie a) zakładałem że wpisujemy się W zbiór 3-elementowy. Dlatego też użyłem tutaj permutacji.
Pozostaje mi zatem konsultacja z prowadzącym o wytłumaczenie czy NA czy W