Rozwiązać równanie z silnią

[cmnstrnbnn]

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \frac{(x!)!}{((x-1)!)!}=360 }\)

[Premislav]

Lewa strona jest rosnącą funkcją zmiennej \(\displaystyle{ x\in \NN^{+}}\).
Istotnie, mamy
\(\displaystyle{ \frac{((x+1)!)!}{((x!)!}>\frac{(x!)!}{((x-1)!)!}\Leftrightarrow ((x+1)!)!((x-1)!)!>((x!)!)^{2} }\)
Dla uproszczenia zlogarytmujmy tę ostatnią nierówność stronami, a dostaniemy równoważną
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{(x+1)!}\ln (k!)+\sum_{k=1}^{(x-1)!}\ln (k!)>2\sum_{k=1}^{x!}\ln (k!)}\)
a po redukcji:
\(\displaystyle{ \sum_{k=x!+1}^{(x+1)!}\ln(k!)>\sum_{k=(x-1)!+1}^{x!}\ln(k!)}\)
Teraz zauważmy, że wszystkie składniki po obu stronach są dodatnie, a poza tym
\(\displaystyle{ \ln(x!+i)!>\ln((x-1)!+i)!, \ i=1\ldots x!-(x-1)!}\)
i \(\displaystyle{ 2(x!)-(x-1)!<(x+1)!\Leftrightarrow 2x-1< x(x+1)}\)
co jest już oczywiste.
Zatem
\(\displaystyle{ \sum_{k=x!+1}^{(x+1)!}\ln(k!)>\sum_{k=x!+1}^{2(x!)-(x-1)!}\ln(k!)>\sum_{k=(x-1)!+1}^{x!}\ln(k!)}\)
co kończy dowód nierówności.

Pozostaje zauważyć, że dla \(\displaystyle{ x=3}\) zachodzi równość i skoro lewa strona jest rosnąca funkcją \(\displaystyle{ x}\), to więcej rozwiązań nie ma.

[Bran]

A nie wystarczyłoby się powołać na to, że silnia dla \(\displaystyle{ x \in \NN^+}\) jest funkcją rosnącą (z oczywistych względów)?

[Premislav]

Bardzo przepraszam, trochę tu zamieszałem, przecież po zlogarytmowaniu powinniśmy otrzymać postać:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{(x+1)!}\ln (\red{k})+\sum_{k=1}^{(x-1)!}\ln (\red{k})>2\sum_{k=1}^{x!}\ln (\red{k}) }\)
nie zaś
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{(x+1)!}\ln (k!)+\sum_{k=1}^{(x-1)!}\ln (k!)>2\sum_{k=1}^{x!}\ln (k!)}\)
No ale wiele to nie zmienia, dalej idea jest taka sama: po redukcji wyrazów podobnych w analogiczny sposób, jak wcześniej napisałem, dostajemy
nierówność, w której wszystkie skłądniki po obu stronach są dodatnie, składników po lewej jest więcej i są one większe. Jak się dobrze przyjrzeć, to w sumie wystarczy to, o czym pisał Bran.

[arek1357]

Silnia jest rosnąca to oczywiste , ale nie do końca oczywiste że właśnie ta funkcja jest rosnąca...

a jak się nie boisz zrób transformację:

\(\displaystyle{ ! \rightarrow \Gamma}\)

Będziesz miał ciągłość...

I wtedy będziesz szczęśliwy...