Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \frac{(x!)!}{((x-1)!)!}=360 }\)
Rozwiązać równanie z silnią
- cmnstrnbnn
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Rozwiązać równanie z silnią
Lewa strona jest rosnącą funkcją zmiennej \(\displaystyle{ x\in \NN^{+}}\).
Istotnie, mamy
\(\displaystyle{ \frac{((x+1)!)!}{((x!)!}>\frac{(x!)!}{((x-1)!)!}\Leftrightarrow ((x+1)!)!((x-1)!)!>((x!)!)^{2} }\)
Dla uproszczenia zlogarytmujmy tę ostatnią nierówność stronami, a dostaniemy równoważną
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{(x+1)!}\ln (k!)+\sum_{k=1}^{(x-1)!}\ln (k!)>2\sum_{k=1}^{x!}\ln (k!)}\)
a po redukcji:
\(\displaystyle{ \sum_{k=x!+1}^{(x+1)!}\ln(k!)>\sum_{k=(x-1)!+1}^{x!}\ln(k!)}\)
Teraz zauważmy, że wszystkie składniki po obu stronach są dodatnie, a poza tym
\(\displaystyle{ \ln(x!+i)!>\ln((x-1)!+i)!, \ i=1\ldots x!-(x-1)!}\)
i \(\displaystyle{ 2(x!)-(x-1)!<(x+1)!\Leftrightarrow 2x-1< x(x+1)}\)
co jest już oczywiste.
Zatem
\(\displaystyle{ \sum_{k=x!+1}^{(x+1)!}\ln(k!)>\sum_{k=x!+1}^{2(x!)-(x-1)!}\ln(k!)>\sum_{k=(x-1)!+1}^{x!}\ln(k!)}\)
co kończy dowód nierówności.
Pozostaje zauważyć, że dla \(\displaystyle{ x=3}\) zachodzi równość i skoro lewa strona jest rosnąca funkcją \(\displaystyle{ x}\), to więcej rozwiązań nie ma.
Istotnie, mamy
\(\displaystyle{ \frac{((x+1)!)!}{((x!)!}>\frac{(x!)!}{((x-1)!)!}\Leftrightarrow ((x+1)!)!((x-1)!)!>((x!)!)^{2} }\)
Dla uproszczenia zlogarytmujmy tę ostatnią nierówność stronami, a dostaniemy równoważną
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{(x+1)!}\ln (k!)+\sum_{k=1}^{(x-1)!}\ln (k!)>2\sum_{k=1}^{x!}\ln (k!)}\)
a po redukcji:
\(\displaystyle{ \sum_{k=x!+1}^{(x+1)!}\ln(k!)>\sum_{k=(x-1)!+1}^{x!}\ln(k!)}\)
Teraz zauważmy, że wszystkie składniki po obu stronach są dodatnie, a poza tym
\(\displaystyle{ \ln(x!+i)!>\ln((x-1)!+i)!, \ i=1\ldots x!-(x-1)!}\)
i \(\displaystyle{ 2(x!)-(x-1)!<(x+1)!\Leftrightarrow 2x-1< x(x+1)}\)
co jest już oczywiste.
Zatem
\(\displaystyle{ \sum_{k=x!+1}^{(x+1)!}\ln(k!)>\sum_{k=x!+1}^{2(x!)-(x-1)!}\ln(k!)>\sum_{k=(x-1)!+1}^{x!}\ln(k!)}\)
co kończy dowód nierówności.
Pozostaje zauważyć, że dla \(\displaystyle{ x=3}\) zachodzi równość i skoro lewa strona jest rosnąca funkcją \(\displaystyle{ x}\), to więcej rozwiązań nie ma.
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Rozwiązać równanie z silnią
A nie wystarczyłoby się powołać na to, że silnia dla \(\displaystyle{ x \in \NN^+}\) jest funkcją rosnącą (z oczywistych względów)?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Rozwiązać równanie z silnią
Bardzo przepraszam, trochę tu zamieszałem, przecież po zlogarytmowaniu powinniśmy otrzymać postać:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{(x+1)!}\ln (\red{k})+\sum_{k=1}^{(x-1)!}\ln (\red{k})>2\sum_{k=1}^{x!}\ln (\red{k}) }\)
nie zaś
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{(x+1)!}\ln (k!)+\sum_{k=1}^{(x-1)!}\ln (k!)>2\sum_{k=1}^{x!}\ln (k!)}\)
No ale wiele to nie zmienia, dalej idea jest taka sama: po redukcji wyrazów podobnych w analogiczny sposób, jak wcześniej napisałem, dostajemy
nierówność, w której wszystkie skłądniki po obu stronach są dodatnie, składników po lewej jest więcej i są one większe. Jak się dobrze przyjrzeć, to w sumie wystarczy to, o czym pisał Bran.
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{(x+1)!}\ln (\red{k})+\sum_{k=1}^{(x-1)!}\ln (\red{k})>2\sum_{k=1}^{x!}\ln (\red{k}) }\)
nie zaś
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{(x+1)!}\ln (k!)+\sum_{k=1}^{(x-1)!}\ln (k!)>2\sum_{k=1}^{x!}\ln (k!)}\)
No ale wiele to nie zmienia, dalej idea jest taka sama: po redukcji wyrazów podobnych w analogiczny sposób, jak wcześniej napisałem, dostajemy
nierówność, w której wszystkie skłądniki po obu stronach są dodatnie, składników po lewej jest więcej i są one większe. Jak się dobrze przyjrzeć, to w sumie wystarczy to, o czym pisał Bran.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Rozwiązać równanie z silnią
Silnia jest rosnąca to oczywiste , ale nie do końca oczywiste że właśnie ta funkcja jest rosnąca...
a jak się nie boisz zrób transformację:
\(\displaystyle{ ! \rightarrow \Gamma}\)
Będziesz miał ciągłość...
I wtedy będziesz szczęśliwy...
a jak się nie boisz zrób transformację:
\(\displaystyle{ ! \rightarrow \Gamma}\)
Będziesz miał ciągłość...
I wtedy będziesz szczęśliwy...