Dzień dobry!
Wracam ostatnio do pewnych tematów z czasów studiów, ale pewne rzeczy mi zdążyły umknąć.
Będę wdzięczny za wskazówki / podpowiedzi do poniższych zadań.
Z góry dziękuję za pomoc!
Pozdrawiam
1. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a_n \geq 0}\) i szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2}\) jest zbieżny, to zbieżny jest również szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}}\).
2. Dowieść, że jeśli szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) o wyrazach dodatnich malejących jest zbieżny to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} na_n = 0}\).
3. Korzystając z wyników zadania 2. wykazać, że dla \(\displaystyle{ 0 < s \leq 1}\) szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}}\) jest rozbieżny.
Szeregi - trzy dowody
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Szeregi - trzy dowody
1. Teza wynika z kryterium porównawczego i z nierówności
\(\displaystyle{ \frac{a_n}{n} \le \frac{1}{2} \left( (a_n)^2 + \frac{1}{n^2} \right)}\),
będącej szczególnym przypadkiem nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną.
2. Skoro \(\displaystyle{ a_n}\) jest malejący, mamy
\(\displaystyle{ 0 \le n a_n = 2 \cdot \frac{n}{2} \cdot a_n \le 2 \sum_{k = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor+1}^n a_k}\).
Z warunku Cauchy'ego dla ciągu sum częściowych wynika że ciąg po prawej stronie nierówności zbiega do zera, co z twierdzenia o trzech ciągach daje tezę.
3. Gdyby ten szereg był zbieżny, to ciąg \(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{n^s}}\) spełniałby założenia zadania 2 i w konsekwencji musiałby też spełniać tezę, a to oczywiście nieprawda, bo
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{1}{n^s} = \lim_{n \to \infty} n^{1-s} = \begin{cases} 1 & \text{dla } s = 1 \\ \infty & \text{dla } 0 < s < 1 \end{cases}}\)
A zatem rozważany szereg musi być rozbieżny.
\(\displaystyle{ \frac{a_n}{n} \le \frac{1}{2} \left( (a_n)^2 + \frac{1}{n^2} \right)}\),
będącej szczególnym przypadkiem nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną.
2. Skoro \(\displaystyle{ a_n}\) jest malejący, mamy
\(\displaystyle{ 0 \le n a_n = 2 \cdot \frac{n}{2} \cdot a_n \le 2 \sum_{k = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor+1}^n a_k}\).
Z warunku Cauchy'ego dla ciągu sum częściowych wynika że ciąg po prawej stronie nierówności zbiega do zera, co z twierdzenia o trzech ciągach daje tezę.
3. Gdyby ten szereg był zbieżny, to ciąg \(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{n^s}}\) spełniałby założenia zadania 2 i w konsekwencji musiałby też spełniać tezę, a to oczywiście nieprawda, bo
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{1}{n^s} = \lim_{n \to \infty} n^{1-s} = \begin{cases} 1 & \text{dla } s = 1 \\ \infty & \text{dla } 0 < s < 1 \end{cases}}\)
A zatem rozważany szereg musi być rozbieżny.
- pelas_91
- Użytkownik
- Posty: 838
- Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 71 razy
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Szeregi - trzy dowody
Wystarczy wykazać:
\(\displaystyle{ \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil \cdot a_n \le \sum_{k = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor+1}^n a_k}\)
lub równoważnie:
\(\displaystyle{ \sum_{k = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor+1}^n a_n \le \sum_{k = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor+1}^n a_k}\).
Ostatnia zaś nierówność jest prawdziwa na poziomie każdego składnika z osobna, bo ciąg jest nierosnący, a zatem zachodzi też dla całych sum.
\(\displaystyle{ \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil \cdot a_n \le \sum_{k = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor+1}^n a_k}\)
lub równoważnie:
\(\displaystyle{ \sum_{k = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor+1}^n a_n \le \sum_{k = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor+1}^n a_k}\).
Ostatnia zaś nierówność jest prawdziwa na poziomie każdego składnika z osobna, bo ciąg jest nierosnący, a zatem zachodzi też dla całych sum.