Znaleźć rozwiązania podanego równania
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 19 gru 2019, o 09:07
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 0
- Podziękował: 13 razy
Znaleźć rozwiązania podanego równania
Znaleźć rozwiązania równania
\(\displaystyle{ z^{3} = (iz+1)^{3} }\)
Policzyłem \(\displaystyle{ z_{0} = iz + 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i }\) (zgadza się z odpowiedzią do zadania)
Następnie wyznaczając kolejne 2 pierwiastki zgodnie ze wzorem \(\displaystyle{ z_{k} = z_{0}\left( \cos \frac{2 \pi k}{n} + i\sin \frac{2 \pi k}{n} \right) }\) gdzie \(\displaystyle{ n = 3 }\) oraz \(\displaystyle{ k = 1,..,n-1}\) otrzymuje wyniki niezgodne z odpowiedzią do zdania. Proszę aby ktoś rozwiązał podane równanie.
P.S Pierwszy post na forum.
\(\displaystyle{ z^{3} = (iz+1)^{3} }\)
Policzyłem \(\displaystyle{ z_{0} = iz + 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i }\) (zgadza się z odpowiedzią do zadania)
Następnie wyznaczając kolejne 2 pierwiastki zgodnie ze wzorem \(\displaystyle{ z_{k} = z_{0}\left( \cos \frac{2 \pi k}{n} + i\sin \frac{2 \pi k}{n} \right) }\) gdzie \(\displaystyle{ n = 3 }\) oraz \(\displaystyle{ k = 1,..,n-1}\) otrzymuje wyniki niezgodne z odpowiedzią do zdania. Proszę aby ktoś rozwiązał podane równanie.
P.S Pierwszy post na forum.
Ostatnio zmieniony 19 gru 2019, o 15:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: na razie. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa tematu: znaleźć.
Powód: Poprawa wiadomości: na razie. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa tematu: znaleźć.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Znaleść rozwiązania podanego równania
Ten wzór się za bardzo nie przyda, służy on do wyznaczania pierwiastków gdy równanie ma postać \(\displaystyle{ z^n=a}\) a tu tak nie jest. Choć można sprowadzić to do powyższej postaci przekształcając:
\(\displaystyle{ \left( \frac{z}{iz+1}\right)^3=1 }\)
i kładąc \(\displaystyle{ w=\frac{z}{iz+1}}\) dostajemy \(\displaystyle{ w^3=1}\). Zatem rozwiązania to \(\displaystyle{ w\in\left\{ 1,e^{ \frac{2 \pi i}{3} },e^{ -\frac{2 \pi i}{3} }\right\} }\). Stąd łatwo już wrócić do zmiennej \(\displaystyle{ z}\).
Można jednak zastosować wzór na różnicę sześcianów co wydaje mi się szybsze.
\(\displaystyle{ z^3-(iz+1)^3= ((1+i)z-i)(z^2+(2-i)z-i)}\)
pierwszy nawias da Ci rozwiązanie które już masz. Z drugiego dostaniesz jeszcze dwa za pomocą delty standardowo.
\(\displaystyle{ \left( \frac{z}{iz+1}\right)^3=1 }\)
i kładąc \(\displaystyle{ w=\frac{z}{iz+1}}\) dostajemy \(\displaystyle{ w^3=1}\). Zatem rozwiązania to \(\displaystyle{ w\in\left\{ 1,e^{ \frac{2 \pi i}{3} },e^{ -\frac{2 \pi i}{3} }\right\} }\). Stąd łatwo już wrócić do zmiennej \(\displaystyle{ z}\).
Można jednak zastosować wzór na różnicę sześcianów co wydaje mi się szybsze.
\(\displaystyle{ z^3-(iz+1)^3= ((1+i)z-i)(z^2+(2-i)z-i)}\)
pierwszy nawias da Ci rozwiązanie które już masz. Z drugiego dostaniesz jeszcze dwa za pomocą delty standardowo.
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 19 gru 2019, o 09:07
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 0
- Podziękował: 13 razy
Re: Znaleźć rozwiązania podanego równania
Dzięki za odpowiedź aczkolwiek dalej nie rozumiem jak rozwiązać równanie.
Sposób 1 :
\(\displaystyle{ w = \frac{z}{iz+1} }\) czyli \(\displaystyle{ w^{3} = 1 }\) więc \(\displaystyle{ w \in \left\{1, e^{ \frac{2 \pi i}{3} }, e^{ \frac{-2 \pi i}{3} } \right\} }\).
Przechodzę na postać kartezjańską i mam:
\(\displaystyle{ w_{0} = 1 }\)
\(\displaystyle{ w_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i }\)
\(\displaystyle{ w_{2} = - \frac{1}{2} -\frac{ \sqrt{3} }{2}i }\)
I nie wiem co dalej mam zrobić?
Sposób 2:
\(\displaystyle{ z^{3}−(iz+1)^{3}=((1+i)z−i)(z^{2}+(2−i)z−i) }\)
Nie rozumiem jak otrzymałeś wyrażenie po prawej stronie znaku równości?
Dla mnie to jest coś takiego:
\(\displaystyle{ z^{3}−(iz+1)^{3}=(z-(iz+1)(z^{2} +z(iz+1) + (iz+1)^{2}) }\)
Rozwiązaniem równania według odpowiedzi jest:
\(\displaystyle{ \left\{ \frac{1}{1-i}, \frac{-2}{1+i(2+ \sqrt{3} )}, \frac{-2}{1+i(2+ \sqrt{3} )} \right\}}\)
Pierwsze już mam ale z kolejnymi nie mam pojęcia.
Dodatkowo w jednym z przykładowych zdań z książki było \(\displaystyle{ z^{6} = (2+4i)^{6}}\)
i autorzy podręcznika liczyli z podanego przeze mnie wcześniej wzoru gdzie \(\displaystyle{ z_{0} = 2+4i}\)
Dodatkowo jeszcze zamieniłem
\(\displaystyle{ \frac{-2}{1+i(2- \sqrt{3} )} = \frac{-2 - \sqrt{3} +i }{2} }\)
\(\displaystyle{ \frac{-2}{1+i(2+ \sqrt{3} )} = \frac{-2 - \sqrt{3} +i }{2} }\)
Sposób 1 :
\(\displaystyle{ w = \frac{z}{iz+1} }\) czyli \(\displaystyle{ w^{3} = 1 }\) więc \(\displaystyle{ w \in \left\{1, e^{ \frac{2 \pi i}{3} }, e^{ \frac{-2 \pi i}{3} } \right\} }\).
Przechodzę na postać kartezjańską i mam:
\(\displaystyle{ w_{0} = 1 }\)
\(\displaystyle{ w_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i }\)
\(\displaystyle{ w_{2} = - \frac{1}{2} -\frac{ \sqrt{3} }{2}i }\)
I nie wiem co dalej mam zrobić?
Sposób 2:
\(\displaystyle{ z^{3}−(iz+1)^{3}=((1+i)z−i)(z^{2}+(2−i)z−i) }\)
Nie rozumiem jak otrzymałeś wyrażenie po prawej stronie znaku równości?
Dla mnie to jest coś takiego:
\(\displaystyle{ z^{3}−(iz+1)^{3}=(z-(iz+1)(z^{2} +z(iz+1) + (iz+1)^{2}) }\)
Rozwiązaniem równania według odpowiedzi jest:
\(\displaystyle{ \left\{ \frac{1}{1-i}, \frac{-2}{1+i(2+ \sqrt{3} )}, \frac{-2}{1+i(2+ \sqrt{3} )} \right\}}\)
Pierwsze już mam ale z kolejnymi nie mam pojęcia.
Dodatkowo w jednym z przykładowych zdań z książki było \(\displaystyle{ z^{6} = (2+4i)^{6}}\)
i autorzy podręcznika liczyli z podanego przeze mnie wcześniej wzoru gdzie \(\displaystyle{ z_{0} = 2+4i}\)
Dodatkowo jeszcze zamieniłem
\(\displaystyle{ \frac{-2}{1+i(2- \sqrt{3} )} = \frac{-2 - \sqrt{3} +i }{2} }\)
\(\displaystyle{ \frac{-2}{1+i(2+ \sqrt{3} )} = \frac{-2 - \sqrt{3} +i }{2} }\)
Ostatnio zmieniony 19 gru 2019, o 18:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: przeze mnie
Powód: Poprawa wiadomości: przeze mnie
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Znaleźć rozwiązania podanego równania
Należy wrócić do zmiennej \(\displaystyle{ z}\). Czyli jak masz \(\displaystyle{ w=1}\) to teraz sprawdzasz kiedy \(\displaystyle{ \frac{z}{iz+1}=1}\) czyli \(\displaystyle{ z=iz+1}\) czyli \(\displaystyle{ z= \frac{1}{1-i} }\) i tak dalej dla dwóch pozostałych.I nie wiem co dalej mam zrobić?
Spieszyłem dlatego rozłożyłem to Wolframem. Niemniej jednak to co proponujesz też jest dobre i pewnie jak policzysz to co jest w drugim nawiasie i pogrupujesz względem \(\displaystyle{ z}\) to wyjdzie to co zaproponowałem. To tylko techniczna kwestia. Możemy podstać przy Twojej wersji.Nie rozumiem jak otrzymałeś wyrażenie po prawej stronie znaku równości?
Dla mnie to jest coś takiego: \(\displaystyle{ z^{3}−(iz+1)^{3}=(z-(iz+1)(z^{2} +z(iz+1) + (iz+1)^{2})}\)
Ok. A jaki to ma związek?Dodatkowo w jednym z przykładowych zdań z książki było \(\displaystyle{ z^{6} = (2+4i)^{6}}\) i autorzy podręcznika liczyli z podanego przeze mnie wcześniej wzoru gdzie \(\displaystyle{ z_{0} = 2+4i}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 19 gru 2019, o 09:07
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 0
- Podziękował: 13 razy
Re: Znaleźć rozwiązania podanego równania
Panie Januszu napisał Pan :Ok. A jaki to ma związek?Dodatkowo w jednym z przykładowych zdań z książki było \(\displaystyle{ z^{6}=(2+4i)^{6}}\) i autorzy podręcznika liczyli z podanego przeze mnie wcześniej wzoru gdzie\(\displaystyle{ z_{0}=2+4i}\)
A w przykładzie z książki: \(\displaystyle{ z^{6}=(2+4i)^{6}}\) został wykorzystany wcześniej wspomniany już wzór. Dlatego zastanawia mnie czemu w przypadku równania \(\displaystyle{ x^{3} = y^{3}}\) nie mogę go zastosować .Ten wzór się za bardzo nie przyda, służy on do wyznaczania pierwiastków gdy równanie ma postać \(\displaystyle{ z^{n} = a }\) a tu tak nie jest.
Wracając do zadania:
\(\displaystyle{ z^{3}−(iz+1)^{3}=((1+i)z−i)(z^{2}+(2−i)z−i) }\)
Tak jak Pan pisał wyliczyłem z drugiego nawiasu brakujące dwa pierwiastki tylko nie mam pojęcia jak do takiej postaci doprowadzić bez użycia "wolframa" dlatego ten sposób odpada dla mnie
Tworze wiec takie równania :Należy wrócić do zmiennej \(\displaystyle{ z }\). Czyli jak masz \(\displaystyle{ w=1}\) to teraz sprawdzasz kiedy \(\displaystyle{ \frac{z}{iz+1} =1}\) czyli \(\displaystyle{ z = iz+1}\) czyli \(\displaystyle{ z = \frac{1}{1-i} }\) i tak dalej dla dwóch pozostałych.
\(\displaystyle{ z = (iz+1)\cdot \left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)\\
z = (iz+1)\cdot \left( -\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\)
Próbując wyznaczyć z stąd \(\displaystyle{ z}\) wychodzą mi jakieś skomplikowane wyrażenia. (te zadanie nie może być aż tak pogmatwane )
Proszę jeżeli ktoś ma trochę czasu o rozwiązanie mojego problemu i podanie odpowiednich obliczeń jak to wszystko wyliczyć
Ostatnio zmieniony 21 gru 2019, o 22:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Poprawa wiadomości.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Znaleźć rozwiązania podanego równania
A znasz taki wzór: `a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)`? No to wstaw za `a` i `b` to co trzeba i wylicz to bez Wolframa
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Znaleźć rozwiązania podanego równania
To jest w tym wątku kwestia najistotniejsza. Wzór zastosować możesz wtedy gdy prawa strona równania jest stała. Tak jak pisałem już wcześniej wzór można stosować do równań postaci \(\displaystyle{ z^n=a}\) gdzie \(\displaystyle{ a\in\CC}\) oraz liczba \(\displaystyle{ a}\) nie zależy od \(\displaystyle{ z}\). Dlatego do przykładu \(\displaystyle{ z^{6}=(2+4i)^{6}}\) można zastosować ów wzór. A do \(\displaystyle{ z^{3} = (iz+1)^{3} }\) nie można bo każda ze stron zależy od \(\displaystyle{ z}\) (no chyba, że zrobimy sztuczkę z dzieleniem i podstawieniem \(\displaystyle{ w}\)).A w przykładzie z książki: \(\displaystyle{ z^{6}=(2+4i)^{6}}\) został wykorzystany wcześniej wspomniany już wzór. Dlatego zastanawia mnie czemu w przypadku równania \(\displaystyle{ z^3=y^3}\) nie mogę go zastosować.
Teraz sam powinieneś umieć odpowiedzieć sobie na to pytanie. Jeśli \(\displaystyle{ y}\) jest stałą liczbą niezależną od \(\displaystyle{ z}\) to możesz zastosować wzór a jeśli \(\displaystyle{ y=y(z)}\) to nie możesz (no chyba, że zrobisz sztuczkę i napiszesz \(\displaystyle{ \left( \frac{z}{y} \right)^3=1 }\) wtedy po prawej jest stała liczba).Dlatego zastanawia mnie czemu w przypadku równania \(\displaystyle{ z^3=y^3}\) nie mogę go zastosować.
Pisałem o wykorzystaniu wzorów skróconego mnożenia (nawet konkretnych), wydało mi się to wystarczającą wskazówką. A potem i tak zaproponowałem, żeby pozostać przy Twojej wersji \(\displaystyle{ z^{3}−(iz+1)^{3}=(z-(iz+1))(z^{2} +z(iz+1) + (iz+1)^{2})}\) co do której nie masz wątpliwości. Uporządkuj wyrazy w drugim nawiasie co da Ci funkcję kwadratową stąd wyznaczysz brakujące pierwiastki. Podpisuje się pod radą a4karo.Wracając do zadania: \(\displaystyle{ z^{3}−(iz+1)^{3}=((1+i)z−i)(z^{2}+(2−i)z−i)}\)
Tak jak Pan pisał wyliczyłem z drugiego nawiasu brakujące dwa pierwiastki tylko nie mam pojęcia jak do takiej postaci doprowadzić bez użycia "wolframa" dlatego ten sposób odpada dla mnie
To są równania liniowe więc ich skomplikować jest jedynie objętościowa.Tworze wiec takie równania :
\(\displaystyle{ z = (iz+1)\cdot \left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)\\
z = (iz+1)\cdot \left( -\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\)
Próbując wyznaczyć z stąd \(\displaystyle{ z}\) wychodzą mi jakieś skomplikowane wyrażenia. (te zadanie nie może być aż tak pogmatwane )
\(\displaystyle{ z = (iz+1)\cdot \left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\)
\(\displaystyle{ z = iz\left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)+ \left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\)
\(\displaystyle{ z - iz\left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)= \left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\)
\(\displaystyle{ z\left( 1 - i\left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)\right) = \left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{\left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}{\left( 1 - i\left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)\right)}=... =\frac{ \sqrt{3} }{2}-1+ \frac{i}{2} }\)
Podobnie z kolejnym pierwiastkiem. Nie jest to pogmatwane, raczej mało pasjonujące dlatego zaproponowałem inną wersję.
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 19 gru 2019, o 09:07
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 0
- Podziękował: 13 razy
Re: Znaleźć rozwiązania podanego równania
a4karo dzięki za rade ale nie potrafię doprowadzić tego do odpowiedniej postaci . Wole liczyć z tych równań liniowych
Janusz Tracz dzięki za pomoc i wytłumaczenie w końcu zrozumiałem
Wesołych Świąt Panowie