Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Przybyl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 4 maja 2016, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 19 razy

Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie

Post autor: Przybyl » 10 gru 2019, o 17:07

]Jaki jest najszybszy sposób na rozwiązanie zagadnienia z tematu ? Co z takim przykładem
\(\displaystyle{ z^8+z^{16}=z^{24}+1}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2867
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 939 razy

Re: Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie

Post autor: Janusz Tracz » 10 gru 2019, o 17:42

Można pogrupować.

\(\displaystyle{ z^8\left( 1+z^8\right) =\left( 1+z^8\right)\left( z^{16}-z^8+1\right) }\)

zatem \(\displaystyle{ z^8=-1}\) co daje \(\displaystyle{ 8}\) rozwiązań. Dla pozostałych liczb mamy \(\displaystyle{ z^8= z^{16}-z^8+1}\) co upraszcza się do \(\displaystyle{ z^{16}-2z^8+1=0}\) czyli \(\displaystyle{ \left( z^8-1\right)^2=0 }\) czyli \(\displaystyle{ z^8=1}\) co również daje \(\displaystyle{ 8}\) pierwiastków.

Przybyl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 4 maja 2016, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 19 razy

Re: Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie

Post autor: Przybyl » 12 gru 2019, o 17:09

Szczerze mówiąc, chyba bym na to nie wpadł. Jest moze jeszcze inny sposób ?

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 456
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 137 razy

Re: Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie

Post autor: JHN » 12 gru 2019, o 17:55

Przybyl pisze:
12 gru 2019, o 17:09
Jest moze jeszcze inny sposób ?
Zmienna pomocnicza:
Niech \(\displaystyle{ z^8=t}\)
Wtedy \(\displaystyle{ t+t^{2}=t^{3}+1}\)
\(\displaystyle{ t^{3}-t^{2}-t+1=0\iff (t+1)(t-1)^2=0}\)
Zatem \(\displaystyle{ z^8=-1\vee z^8=1}\)

Pozdrawiam

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18296
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3086 razy

Re: Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie

Post autor: a4karo » 12 gru 2019, o 17:57

Prościej będzie tak:
\(0=z^{24}-z^{16}-z^8+1=z^{16}(z^8-1)-(z^8-1)=(z^{16}-1)(z^8-1)\)
Pierwszy czynnik ma szesnaście różnych pierwiastków a drugi osiem, ale każdy pierwiastek drugiego czynnika jest pierwiastkiem pierwszego, więc różnych jest szesnaście.

Przybyl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 4 maja 2016, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 19 razy

Re: Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie

Post autor: Przybyl » 12 gru 2019, o 18:04

Okay a co z takim czymś.
\(\displaystyle{ z^9+z^{15}=z^{24}+1}\)
zrobiłem coś takiego:
\(\displaystyle{ (z^9-1)(z^{15}-1)=0}\)
jednak odpowiedź to 21

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26515
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4437 razy

Re: Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie

Post autor: Jan Kraszewski » 12 gru 2019, o 18:12

Przybyl pisze:
12 gru 2019, o 18:04
zrobiłem coś takiego:
\(\displaystyle{ (z^9-1)(z^{15}-1)=0}\)
jednak odpowiedź to 21
Musisz ustalić, ile pierwiastków jest wspólnych. Zauważ, że argumenty pierwiastków dziewiątego stopnia z jedynki są wielokrotnościami \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{9} }\), a argumenty pierwiastków piętnastego stopnia z jedynki są wielokrotnościami \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{15} }\). Ile razy te wielokrotności pokryją się?

JK

Przybyl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 4 maja 2016, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 19 razy

Re: Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie

Post autor: Przybyl » 12 gru 2019, o 18:21

Wychodzi na to, że 21, jednak nie potrafię sobie tego wyobrazić na płaszczyźnie zespolonej

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26515
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4437 razy

Re: Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie

Post autor: Jan Kraszewski » 12 gru 2019, o 18:22

Przybyl pisze:
12 gru 2019, o 18:21
jednak nie potrafię sobie tego wyobrazić na płaszczyźnie zespolonej
Czego? Pierwiastków jedynki?

JK

Przybyl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 4 maja 2016, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 19 razy

Re: Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie

Post autor: Przybyl » 12 gru 2019, o 18:23

Wezmę kartkę i to po prostu obliczę, może tak mi będzie łatwiej

Okay jak sobie rozpisałem te pierwiastki to wszystko mi ładnie wyszło. Rzeczywiście jest ich 21

Przy kolejnym przykładziej uż wiem jak to robić. Dziękuję bardzo :)

ODPOWIEDZ