Znajdź pierwiastki wielomianu

[Niepokonana]

Witam
Proszę o pomoc, powinnam to umieć, ale nie było mnie wtedy na lekcji.
Wyznacz pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=x^{3}+px^{2}+11x+q}\), jeżeli są w stosunku \(\displaystyle{ x_{1}:x_{2}:x_{3}=1:2:3}\)

[Psiaczek]

Witam
Proszę o pomoc, powinnam to umieć, ale nie było mnie wtedy na lekcji.
Wyznacz pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=x^{3}+px^{2}+11x+q}\), jeżeli są w stosunku \(\displaystyle{ x_{1}:x_{2}:x_{3}}\)

To jest pełna treść zadania? Jak na szkołę średnią dość dziwnie, prędzej bym się spodziewał polecenia że są w jakimś konkretnym stosunku na przykład \(\displaystyle{ 1:3:5}\) czy coś takiego

[Niepokonana]

Wybacz Psiaczek zgubiłam resztę zadania, już poprawiłam.

[janusz47]

Wzory Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia.

viewtopic.php?t=51941

[Niepokonana]

Dobrze, dziękuję za pomoc, a da się to rozwiązać układem równań?

[Gosda]

Możesz, przyjmij \(\displaystyle{ x_3 = 3t}\), \(\displaystyle{ x_2 = 2t}\), \(\displaystyle{ x_1 = t}\), wstaw trzy razy do równania \(\displaystyle{ w(x) = 0}\), znajdź \(\displaystyle{ t}\).

Ale ze wzorów Viete'a szybciej, bo suma pierwiastków jest Ci znana.

[Niepokonana]

A ok dzięki, bo nie było wzorów Viete'a dla trzeciego stopnia, ale uznajmy, że były.

[Janusz Tracz]

Można skorzystać z postaci iloczynowej wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\) wszak wiedząc, że wielomian ma pierwiastki można zapisać:

\(\displaystyle{ w(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_2)}\)

wiedząc, że ów pierwiastki są w podanym stosunku można zapisać, że istnieje \(\displaystyle{ t}\) takie, że:

\(\displaystyle{ w(x)=(x-t)(x-2t)(x-3t)}\)

(wykorzystuje tu oznaczenia takie jak zaproponował Gosda). Z drugiej jednak strony wiemy, że \(\displaystyle{ w(x)=x^{3}+px^{2}+11x+q}\) zatem

\(\displaystyle{ (x-t)(x-2t)(x-3t)=x^{3}+px^{2}+11x+q}\)

\(\displaystyle{ x^3-6tx^2+11t^2x-6t^3=x^{3}+px^{2}+11x+q}\)

Wiemy też, że wielomiany są równe gdy ich współczynniki przy odpowiednich potęgach są równe zatem musi zachodzić:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -6t=p\\11t^2=11 \\ -6t^3=q \end{cases} }\)

Z drugiego równania wynika, że \(\displaystyle{ t= \pm 1}\). Kładąc to do pierwszego i trzeciego równania dostaniemy \(\displaystyle{ p= \mp 6}\) oraz \(\displaystyle{ q= \mp 6}\) (przy czym obowiązuje konwencja górnego i dolnego znaku). Widać więc, że są dwa takie wielomiany.

[Niepokonana]

Dziękuję bardzo