2 zadania z ciągłości funkcji

[ullortnaci]

1. Wykazać, że jeśli funkcja \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR}\) jest jednostajnie ciągła na \(\displaystyle{ \RR}\), to istnieją takie liczby \(\displaystyle{ a \ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ b \ge 0}\), że \(\displaystyle{ \left| f(x)\right| \le a\left| x\right| + b}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in\RR}\).

2. Mówimy, że funkcja \(\displaystyle{ f: I \rightarrow \RR}\) (\(\displaystyle{ I }\) jest przedziałem, a nawet dowolnym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ \RR}\)) spełnia na \(\displaystyle{ I}\) warunek Lipschitza ze stałą \(\displaystyle{ L \ge 0}\), jeżeli \(\displaystyle{ \left| f(x)-f(y)\right| \le L\left| x-y\right| }\).

[Premislav]

1. Już było: viewtopic.php?f=139&t=443381&p=5594221#p5594221
2. Nie dokończyłeś treści zadania.

[ullortnaci]

2. Mówimy, że funkcja \(\displaystyle{ f: I \rightarrow \RR}\) (\(\displaystyle{ I }\) jest przedziałem, a nawet dowolnym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ \RR}\)) spełnia na \(\displaystyle{ I}\) warunek Lipschitza ze stałą \(\displaystyle{ L \ge 0}\), jeżeli \(\displaystyle{ \left| f(x)-f(y)\right| \le L\left| x-y\right| }\) dla \(\displaystyle{ x, y}\) należących do \(\displaystyle{ I}\).
Pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) spełniająca warunek Lipschitza na \(\displaystyle{ I}\) jest jednostajnie ciągła na \(\displaystyle{ I}\).

[Premislav]

Zatem w definicji jednostajnej ciągłości bierzesz \(\displaystyle{ \delta=\frac{\epsilon}{L}}\) i koniec.