Najmniejszy wyraz ciągu
-
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 14 lis 2019, o 22:59
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 23 razy
Najmniejszy wyraz ciągu
Znaleźć najmniejszy wyraz ciągu \(\displaystyle{ a_{n}=\left(1- \frac{1}{\left( n+1\right)\left( 2n-3\right) } \right)^{2013} }\).
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Najmniejszy wyraz ciągu
Udowodnij, że ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest rosnący. Możesz wykorzystać to, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^{a}, \ a>0}\) ustalone, jest rosnąca (tutaj \(\displaystyle{ a=2013}\)). Dalej zostają już tylko przekształcenia algebraiczne nierówności
\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{(n+2)(2n-1)}>1-\frac{1}{(n+1)(2n-3)}}\).
Skoro zaś udowodnisz, że ciąg jest rosnący, to najmniejszym wyrazem okaże się \(\displaystyle{ a_{1}}\).
\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{(n+2)(2n-1)}>1-\frac{1}{(n+1)(2n-3)}}\).
Skoro zaś udowodnisz, że ciąg jest rosnący, to najmniejszym wyrazem okaże się \(\displaystyle{ a_{1}}\).
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Najmniejszy wyraz ciągu
Zauważ, że:
\(\displaystyle{ 1)}\) ciąg \(\displaystyle{ 1- \frac{1}{(n+1)(2n-3)} }\) jest rosnący na \(\displaystyle{ n\in\NN \setminus \left\{ 1\right\} }\)
\(\displaystyle{ 2)}\) podniesienie do potęgi \(\displaystyle{ 2013}\) nie zmiana monotoniczności zatem \(\displaystyle{ a_2}\) jest najmniejszy.
\(\displaystyle{ 1)}\) ciąg \(\displaystyle{ 1- \frac{1}{(n+1)(2n-3)} }\) jest rosnący na \(\displaystyle{ n\in\NN \setminus \left\{ 1\right\} }\)
\(\displaystyle{ 2)}\) podniesienie do potęgi \(\displaystyle{ 2013}\) nie zmiana monotoniczności zatem \(\displaystyle{ a_2}\) jest najmniejszy.
-
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 14 lis 2019, o 22:59
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 23 razy
Re: Najmniejszy wyraz ciągu
Dlaczego dziedzina jest bez 1?Janusz Tracz pisze: ↑4 gru 2019, o 14:09 Zauważ, że:
\(\displaystyle{ 1)}\) ciąg \(\displaystyle{ 1- \frac{1}{(n+1)(2n-3)} }\) jest rosnący na \(\displaystyle{ n\in\NN \setminus \left\{ 1\right\} }\)
\(\displaystyle{ 2)}\) podniesienie do potęgi \(\displaystyle{ 2013}\) nie zmiana monotoniczności zatem \(\displaystyle{ a_2}\) jest najmniejszy.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Najmniejszy wyraz ciągu
\(\displaystyle{ 1}\) należy do dziedziny ale dla jedynki liczba jaką będziemy podnosić do \(\displaystyle{ 2013}\) jest większa do \(\displaystyle{ 1}\) a dla reszty \(\displaystyle{ n}\) liczby które będą podnoszone do \(\displaystyle{ 2013}\) są mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\) więc od razu widać, że \(\displaystyle{ a_1}\) nie będzie najmniejszy.