Mam podać przykład szeregu o wyrazach dodatnich, takiego że \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } a_{n}=+ \infty }\), ale \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{ a_{n} }{\ln(\ln n)}<+ \infty}\)
Robiąc podobne zadania, zauważyłam, że najprawdopodobniej może to być \(\displaystyle{ \frac{1}{n\ln(\ln n)\ln n}}\)
Wiem, że trzeba wykorzystać kryterium o zagęszczeniu, w pierwszym przypadku wychodzi mi \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n\ln 2\ln(n\ln 2)}}\), a w drugim \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n\ln 2\ln(n\ln 2)\ln(n\ln 2)}}\) Wiem, że szereg harmoniczny \(\displaystyle{ \frac{1}{ n^{a}}}\) jest zbieżny, kiedy \(\displaystyle{ a>1}\), rozbieżny w przeciwnym przypadku, co powinnam tutaj dalej zrobić, czy to jest w ogóle dobrze?
Szereg
-
xdominika
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 14 lis 2019, o 22:59
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 23 razy
Szereg
Ostatnio zmieniony 3 gru 2019, o 00:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Szereg
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{n\ln(\ln n)\ln n}}\) to jest dobry przykład.
Po prostu konsekwentnie (wciąż spełnione będą założenia) należy stosować kryterium zagęszczające:
jeżeli \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{n\ln n \ln(\ln n)}}\), to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}a_{n}}\) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}2^{n}a_{2^{n}}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2^{n}}{2^{n}\ln 2^{n} \ln\left(\ln 2^{n}\right)}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln 2 \cdot n \left(\ln n+\ln (\ln 2)\right)}}\),
ten ostatni zaś jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{2^{n}}{\ln 2 \cdot 2^{n} \left(\ln 2^{n}+\ln(\ln 2)\right)}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^{2}(2)+\ln 2 \cdot \ln(\ln 2)}}\)
a ten ostatni szereg jest rozbieżny na mocy kryterium porównawczego, gdyż \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n}}\) jest rozbieżny i mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{n\ln^{2}(2)+\ln 2\cdot \ln(\ln 2)}>\frac{1}{n\ln^{2}e+0}=\frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ n=2,3\ldots}\).
Skoro zatem ten ostatni szereg jest rozbieżny, to i
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln(\ln n)\ln n}}\) jest rozbieżny.
Podobnie postępujesz z \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n\ln^{2}(\ln n)}}\)
z tą różnicą, że on okazuje się zbieżny, jak chciałaś.
Inna możliwość to kryterium całkowe, które błyskawicznie załatwia tu sprawę, ale możesz go nie znać…
Po prostu konsekwentnie (wciąż spełnione będą założenia) należy stosować kryterium zagęszczające:
jeżeli \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{n\ln n \ln(\ln n)}}\), to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}a_{n}}\) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}2^{n}a_{2^{n}}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2^{n}}{2^{n}\ln 2^{n} \ln\left(\ln 2^{n}\right)}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln 2 \cdot n \left(\ln n+\ln (\ln 2)\right)}}\),
ten ostatni zaś jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{2^{n}}{\ln 2 \cdot 2^{n} \left(\ln 2^{n}+\ln(\ln 2)\right)}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^{2}(2)+\ln 2 \cdot \ln(\ln 2)}}\)
a ten ostatni szereg jest rozbieżny na mocy kryterium porównawczego, gdyż \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n}}\) jest rozbieżny i mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{n\ln^{2}(2)+\ln 2\cdot \ln(\ln 2)}>\frac{1}{n\ln^{2}e+0}=\frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ n=2,3\ldots}\).
Skoro zatem ten ostatni szereg jest rozbieżny, to i
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln(\ln n)\ln n}}\) jest rozbieżny.
Podobnie postępujesz z \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n\ln^{2}(\ln n)}}\)
z tą różnicą, że on okazuje się zbieżny, jak chciałaś.
Inna możliwość to kryterium całkowe, które błyskawicznie załatwia tu sprawę, ale możesz go nie znać…