Tutaj rysunek:
Kod: Zaznacz cały
https://i.imgur.com/uTbjcwF.pngDwie drabiny oparte o ścianę
Dwie drabiny oparte o ścianę
Jedna z drabin ma długość x, druga y i oparte są o przeciwne budynki. Gdy popatrzymy z boku, przecinają się one na wysokości c nad poziomem ulicy. Należy policzyć szerokość ulicy w, jeśli wartości x,y oraz c są dane.
Tutaj rysunek:
Tutaj rysunek:
-
Elayne
- Użytkownik
- Posty: 926
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
Re: Dwie drabiny oparte o ścianę
W 1912 roku, na ścianie jednej ze świątyń w dolinie Nilu odkryto zagadkę kapłana:
w cylindrycznej studni kamiennej znajdują się dwie trzcinowe tyczki o długości dwóch i trzech metrów, które krzyżują się dokładnie na wysokości lustra wody [jeden metr od dna studni]. Szukana jest średnica studni.
To zadanie, to ten sam problem. Najprościej będzie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.
w cylindrycznej studni kamiennej znajdują się dwie trzcinowe tyczki o długości dwóch i trzech metrów, które krzyżują się dokładnie na wysokości lustra wody [jeden metr od dna studni]. Szukana jest średnica studni.
To zadanie, to ten sam problem. Najprościej będzie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Dwie drabiny oparte o ścianę
Rysunek
Oznaczenia
\(\displaystyle{ s }\) - szerokość ulicy
\(\displaystyle{ H }\) - wysokość oparcia 1 drabiny o ścianę lewego budynku
\(\displaystyle{ h }\) - wysokość oparcia 2 drabiny o ścianę prawego budynku
\(\displaystyle{ u }\) -odległość punktu przecięcia się 1 drabiny od ściany lewego budynku
\(\displaystyle{ v }\) -odległość punktu przecięcia się 2 drabiny od ściany prawego budynku
Ze wzoru Pitagorasa
\(\displaystyle{ H^2 +s^2 = x^2 \ \ (1) }\)
\(\displaystyle{ h^2 + s^2 = y^2 \ \ (2) }\)
Z porównania pól trójkątów
\(\displaystyle{ \frac{H \cdot s}{2} = \frac{H \cdot u}{2} + \frac{s\cdot c}{2} \ \ (3) }\)
\(\displaystyle{ \frac{h\cdot s}{2} = \frac{h \cdot u}{2} + \frac{s\cdot c}{2} \ \ (4) }\)
Z równości odcinków
\(\displaystyle{ u +v = s \ \ (5) }\)
Proszę rozwiązać układ równań \(\displaystyle{ (1) - (5) }\)
Dodano po 3 godzinach 24 minutach 10 sekundach:
Korekta
Jest
\(\displaystyle{ \frac{h\cdot s}{2} = \frac{h\cdot u}{2} + \frac{s\cdot c}{2} }\)
powinno być
\(\displaystyle{ \frac{h\cdot s}{2} = \frac{h\cdot v}{2} + \frac{s\cdot c}{2}. }\)
Oznaczenia
\(\displaystyle{ s }\) - szerokość ulicy
\(\displaystyle{ H }\) - wysokość oparcia 1 drabiny o ścianę lewego budynku
\(\displaystyle{ h }\) - wysokość oparcia 2 drabiny o ścianę prawego budynku
\(\displaystyle{ u }\) -odległość punktu przecięcia się 1 drabiny od ściany lewego budynku
\(\displaystyle{ v }\) -odległość punktu przecięcia się 2 drabiny od ściany prawego budynku
Ze wzoru Pitagorasa
\(\displaystyle{ H^2 +s^2 = x^2 \ \ (1) }\)
\(\displaystyle{ h^2 + s^2 = y^2 \ \ (2) }\)
Z porównania pól trójkątów
\(\displaystyle{ \frac{H \cdot s}{2} = \frac{H \cdot u}{2} + \frac{s\cdot c}{2} \ \ (3) }\)
\(\displaystyle{ \frac{h\cdot s}{2} = \frac{h \cdot u}{2} + \frac{s\cdot c}{2} \ \ (4) }\)
Z równości odcinków
\(\displaystyle{ u +v = s \ \ (5) }\)
Proszę rozwiązać układ równań \(\displaystyle{ (1) - (5) }\)
Dodano po 3 godzinach 24 minutach 10 sekundach:
Korekta
Jest
\(\displaystyle{ \frac{h\cdot s}{2} = \frac{h\cdot u}{2} + \frac{s\cdot c}{2} }\)
powinno być
\(\displaystyle{ \frac{h\cdot s}{2} = \frac{h\cdot v}{2} + \frac{s\cdot c}{2}. }\)
-
Elayne
- Użytkownik
- Posty: 926
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
Re: Dwie drabiny oparte o ścianę
Oznaczenia jak na rysunku poniżej:
Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a^2 + s^2 = x^2 \\
b^2 + s^2 = y^2
\end{cases}
\Rightarrow a^2 - b^2 = x^2 - y^2}\)
Z podobieństwa mamy:
\(\displaystyle{ a/s = … \Rightarrow s_1 = … \\
b/s = … \Rightarrow s_2 = … }\)
W takim razie:
\(\displaystyle{ s = s_1 + s_2 = …}\)
Kod: Zaznacz cały
https://i.postimg.cc/W39JYWr9/dwie-tyczki-egipt.jpgZ twierdzenia Pitagorasa mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a^2 + s^2 = x^2 \\
b^2 + s^2 = y^2
\end{cases}
\Rightarrow a^2 - b^2 = x^2 - y^2}\)
Z podobieństwa mamy:
\(\displaystyle{ a/s = … \Rightarrow s_1 = … \\
b/s = … \Rightarrow s_2 = … }\)
W takim razie:
\(\displaystyle{ s = s_1 + s_2 = …}\)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Dwie drabiny oparte o ścianę
Na podstawie rysunku zakładamy
\(\displaystyle{ H > h, \ \ s >0, \ \ h> c, \ \ H>c, \ \ c>0. }\)
Z podobieństwa trójkątów prostokątnych
\(\displaystyle{ \frac{H}{s} = \frac{c}{v} }\)
\(\displaystyle{ \frac{h}{s} = \frac{c}{u} }\)
Stąd
\(\displaystyle{ \frac{s}{H} + \frac{s}{h} = \frac{u +v}{c} = \frac{s}{c} | \cdot \frac{1}{s} }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{H} + \frac{1}{h} = \frac{1}{c} \ \ (6) }\)
Z równania \(\displaystyle{ (6) }\) wyznaczamy
\(\displaystyle{ h = \frac {cH}{ H -c} \ \ (7) }\)
Odejmujemy równania \(\displaystyle{ (1), (2) }\) stronami
\(\displaystyle{ H^2 - h^2 = x^2 - y^2 \ \ (8) }\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ (7) }\) do \(\displaystyle{ (8)}\)
\(\displaystyle{ H^2 - \frac{c^2H^2}{(H-c)^2} = x^2 - y^2 \| \cdot (H-c)^2 }\)
\(\displaystyle{ H^2 (H-c)^2 -c^2H^2 = (x^2 -y^2)(H-c)^2 }\)
\(\displaystyle{ H^4 -2cH^3 +c^2 H^2 -c^2H^2 = (H-c)^2(x^2 -y^2) }\)
\(\displaystyle{ H^4 -2cH^3 - (H-c)^2(x^2 -y^2) = 0 \ \ (9) }\)
Otrzymaliśmy równanie na obliczenie wysokości oparcia drabiny \(\displaystyle{ H. }\)
Podobnie, wyznaczając z równania \(\displaystyle{ (6) }\)
\(\displaystyle{ H = \frac{ch}{h -c} }\)
i wstawiając do równania \(\displaystyle{ (8) }\) - otrzymujemy równanie na wysokość oparcia drabiny \(\displaystyle{ h }\)
\(\displaystyle{ h^4 -2ch^3 - (h-c)^2(x^2 -y^2) = 0 \ \ (10) }\)
Znając wartość \(\displaystyle{ H }\) lub \(\displaystyle{ h, }\) możemy z równania \(\displaystyle{ (1) }\) lub \(\displaystyle{ (2) }\) obliczyć szerokość ulicy \(\displaystyle{ s. }\)
Jak widzimy jest to numerycznie dość złożony problem.
\(\displaystyle{ H > h, \ \ s >0, \ \ h> c, \ \ H>c, \ \ c>0. }\)
Z podobieństwa trójkątów prostokątnych
\(\displaystyle{ \frac{H}{s} = \frac{c}{v} }\)
\(\displaystyle{ \frac{h}{s} = \frac{c}{u} }\)
Stąd
\(\displaystyle{ \frac{s}{H} + \frac{s}{h} = \frac{u +v}{c} = \frac{s}{c} | \cdot \frac{1}{s} }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{H} + \frac{1}{h} = \frac{1}{c} \ \ (6) }\)
Z równania \(\displaystyle{ (6) }\) wyznaczamy
\(\displaystyle{ h = \frac {cH}{ H -c} \ \ (7) }\)
Odejmujemy równania \(\displaystyle{ (1), (2) }\) stronami
\(\displaystyle{ H^2 - h^2 = x^2 - y^2 \ \ (8) }\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ (7) }\) do \(\displaystyle{ (8)}\)
\(\displaystyle{ H^2 - \frac{c^2H^2}{(H-c)^2} = x^2 - y^2 \| \cdot (H-c)^2 }\)
\(\displaystyle{ H^2 (H-c)^2 -c^2H^2 = (x^2 -y^2)(H-c)^2 }\)
\(\displaystyle{ H^4 -2cH^3 +c^2 H^2 -c^2H^2 = (H-c)^2(x^2 -y^2) }\)
\(\displaystyle{ H^4 -2cH^3 - (H-c)^2(x^2 -y^2) = 0 \ \ (9) }\)
Otrzymaliśmy równanie na obliczenie wysokości oparcia drabiny \(\displaystyle{ H. }\)
Podobnie, wyznaczając z równania \(\displaystyle{ (6) }\)
\(\displaystyle{ H = \frac{ch}{h -c} }\)
i wstawiając do równania \(\displaystyle{ (8) }\) - otrzymujemy równanie na wysokość oparcia drabiny \(\displaystyle{ h }\)
\(\displaystyle{ h^4 -2ch^3 - (h-c)^2(x^2 -y^2) = 0 \ \ (10) }\)
Znając wartość \(\displaystyle{ H }\) lub \(\displaystyle{ h, }\) możemy z równania \(\displaystyle{ (1) }\) lub \(\displaystyle{ (2) }\) obliczyć szerokość ulicy \(\displaystyle{ s. }\)
Jak widzimy jest to numerycznie dość złożony problem.
-
kruszewski
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: Dwie drabiny oparte o ścianę
Cały smak jest w tym, że znane są długości drabin \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) a nie wysokości ich oparcia \(\displaystyle{ H}\) i \(\displaystyle{ h}\) podobnie jak w tym egipskim zadaniu z trzcinkami w studni o czym pisze wyżej pan Elayne .
-
Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Dwie drabiny oparte o ścianę
Wydaje mi się, że rozwiązanie janusz47 jest spoko. Każde z równań 9 i 10 można rozwiązać, bo są czwartego stopnia względem szukanej \(\displaystyle{ h}\) (albo \(\displaystyle{ H}\)), pozostałe wielkości są znane - to długości drabin i wysokość ich przecięcia. Jak się zna wysokości punktów oparć drabiny o ściany, to z tw. Pitagorasa znamy też odległość między budynkami.
To jest de facto metoda nr 1 z
To jest de facto metoda nr 1 z
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Crossed_ladders_problem-
kruszewski
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: Dwie drabiny oparte o ścianę
Bo na tym polega ten smak, że wysokości nie są znany a wymagają obliczeń.
Rozswiązanie jest oczywista poprawne i eleganckie.
Dodano po 1 dniu 30 minutach 34 sekundach:
Smak zadania jest drażniący wyobraźnię.
Proszę zauważyć, że dla zadanej długości jednej drabiny i wymogu miary wysokości położenia punktu przecięcia się osi drabin, długość drugiej nie może być dowolna. Jeżeli pierwsza ma długość \(\displaystyle{ l_1}\) i przecina poziom położenia punktu przynależnego do obu drabin, (konstrukcja czerwonymi liniami), to długość drugiej drabiny \(\displaystyle{ l_2 }\) jest wynikiem konstrukcji niebieskimi linimi. Zachowując skale długości elementów rysunku, odcinki \(\displaystyle{ c }\) i \(\displaystyle{ l_1}\), otrzymuje się w tej skali odcinek \(\displaystyle{ s}\) oddalenia od siebie ścian budowli.
Dodano po 19 minutach 57 sekundach:
Rozswiązanie jest oczywista poprawne i eleganckie.
Dodano po 1 dniu 30 minutach 34 sekundach:
Smak zadania jest drażniący wyobraźnię.
Proszę zauważyć, że dla zadanej długości jednej drabiny i wymogu miary wysokości położenia punktu przecięcia się osi drabin, długość drugiej nie może być dowolna. Jeżeli pierwsza ma długość \(\displaystyle{ l_1}\) i przecina poziom położenia punktu przynależnego do obu drabin, (konstrukcja czerwonymi liniami), to długość drugiej drabiny \(\displaystyle{ l_2 }\) jest wynikiem konstrukcji niebieskimi linimi. Zachowując skale długości elementów rysunku, odcinki \(\displaystyle{ c }\) i \(\displaystyle{ l_1}\), otrzymuje się w tej skali odcinek \(\displaystyle{ s}\) oddalenia od siebie ścian budowli.
Dodano po 19 minutach 57 sekundach:
-
Elayne
- Użytkownik
- Posty: 926
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
Re: Dwie drabiny oparte o ścianę
Z podobieństwa mamy:Elayne pisze: ↑1 gru 2019, o 19:59 Oznaczenia jak na rysunku poniżej:
Kod: Zaznacz cały
https://i.postimg.cc/W39JYWr9/dwie-tyczki-egipt.jpg
Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a^2 + s^2 = x^2 \\
b^2 + s^2 = y^2
\end{cases}
\Rightarrow a^2 - b^2 = x^2 - y^2}\)
Z podobieństwa mamy:
\(\displaystyle{ a/s = … \Rightarrow s_1 = … \\
b/s = … \Rightarrow s_2 = … }\)
W takim razie:
\(\displaystyle{ s = s_1 + s_2 = …}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{s} = \frac{a-c}{s_1} \Rightarrow s_1 = s \left( 1 - \frac{c}{a}\right) \\
\frac{b}{s} = \frac{b-c}{s_2} \Rightarrow s_2 = s \left( 1 - \frac{c}{b}\right) }\)
W takim razie:
\(\displaystyle{ s = s_1 + s_2 = s\left[ \left( 1 - \frac{c}{a}\right) + \left( 1 - \frac{c}{b}\right)\right] \Rightarrow ab = c(a+b)}\)
Dodano po 2 godzinach 52 minutach 50 sekundach:
Weźmy na przykład dane z zagadki egipskiej. Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ x = 3, \ y = 2, \ c = 1.}\)
Mamy dwie możliwości, z tego \(\displaystyle{ ab = c(a+b)}\) możemy policzyć \(\displaystyle{ a}\) lub \(\displaystyle{ b.}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{bc}{b-c}, \ b \neq c; \\
b = \frac{ac}{a-c}, \ a \neq c}\)
Podstawiamy jedno z tych wyrażeń, np. \(\displaystyle{ b}\) do \(\displaystyle{ a^2 - b^2 = x^2 - y^2:}\)
\(\displaystyle{ a^2 - \left( \frac{a \cdot 1}{a - 1}\right) ^2 = 3^2 - 2^2 \\
a^4 - 2a^3 - 5a^2 + 10a = 5 \\
a = 2,73572325237… \\
2,73572325237^2 - b^2 = 5 \\
b = 1,576128711… \\
2,73572325237^2 + s^2 = 3^2 \\
s = 1,231185728}\)
-
Elayne
- Użytkownik
- Posty: 926
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
Re: Dwie drabiny oparte o ścianę
Trochę poszperałem w sieci. Podobne zadanie było już na tym forum:
Przypadkiem trafiłem na post: Zadanie Egipskich Kapłanów
Tak się zastanawiam, czy tego typu zadanie można byłoby rozwiązać bez uciekania do metod numerycznych, np. z jakieś zależności między dwoma stożkami. Są na to jakieś realne szanse, czy jest to z góry skazane na niepowodzenie?
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=629https://matematyka.pl/viewtopic.php?f=64&t=39734Przypadkiem trafiłem na post: Zadanie Egipskich Kapłanów
Tak się zastanawiam, czy tego typu zadanie można byłoby rozwiązać bez uciekania do metod numerycznych, np. z jakieś zależności między dwoma stożkami. Są na to jakieś realne szanse, czy jest to z góry skazane na niepowodzenie?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Dwie drabiny oparte o ścianę
Na temat problemu przecięcia się drabin " crossed ladder problem" napisano wiele artykułów, W większości z nich, autorzy rozwiązują równania numerycznie.
Na przykład
Rozwiązanie z zależności między stożkami gdzieś spotkałem, ale nie pamiętam gdzie.
Na przykład
Rozwiązanie z zależności między stożkami gdzieś spotkałem, ale nie pamiętam gdzie.
-
jacdiag
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 29 sie 2006, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Marsa
- Pomógł: 5 razy
Re: Dwie drabiny oparte o ścianę
Ziemia się kręci (obraca) dookoła ...
Więc obracamy budynki z ulicą (i studnię z tyczkami) o 90°
Powstaje trapez prostokątny...
I teraz zadanie można napisać:
przekątne trapezu prostokątnego o znanej długości x i y przecinają się w punkcie odległym od pionowego ramienia o wartość c. Oblicz wysokość trapezu ...
Więc obracamy budynki z ulicą (i studnię z tyczkami) o 90°
Powstaje trapez prostokątny...
I teraz zadanie można napisać:
przekątne trapezu prostokątnego o znanej długości x i y przecinają się w punkcie odległym od pionowego ramienia o wartość c. Oblicz wysokość trapezu ...
-
kruszewski
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: Dwie drabiny oparte o ścianę
Trapez nie koniecznie musi mieć poziome podstawy. Pionowe są zupełnie dobre w ich roli.
-
Elayne
- Użytkownik
- Posty: 926
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
Re: Dwie drabiny oparte o ścianę
Hardcore.
Wiemy, że jeden z budynków jest wyższy od drugiego o \(\displaystyle{ 5}\) metrów oraz pod drabinami przejeżdża samochód dostawczy o szerokości \(\displaystyle{ 2}\) metrów i wysokości \(\displaystyle{ 3}\) metrów - górne narożniki samochodu dotykają drabin. Długość drabin jest nieznana. Rysunek poniżej. Jaka jest szerokość alejki?
Wiemy, że jeden z budynków jest wyższy od drugiego o \(\displaystyle{ 5}\) metrów oraz pod drabinami przejeżdża samochód dostawczy o szerokości \(\displaystyle{ 2}\) metrów i wysokości \(\displaystyle{ 3}\) metrów - górne narożniki samochodu dotykają drabin. Długość drabin jest nieznana. Rysunek poniżej. Jaka jest szerokość alejki?
Kod: Zaznacz cały
https://i.postimg.cc/d0GCd3S2/alejka.png