Jedna z drabin ma długość x, druga y i oparte są o przeciwne budynki. Gdy popatrzymy z boku, przecinają się one na wysokości c nad poziomem ulicy. Należy policzyć szerokość ulicy w, jeśli wartości x,y oraz c są dane.
W 1912 roku, na ścianie jednej ze świątyń w dolinie Nilu odkryto zagadkę kapłana:
w cylindrycznej studni kamiennej znajdują się dwie trzcinowe tyczki o długości dwóch i trzech metrów, które krzyżują się dokładnie na wysokości lustra wody [jeden metr od dna studni]. Szukana jest średnica studni.
To zadanie, to ten sam problem. Najprościej będzie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.
Znając wartość \(\displaystyle{ H }\) lub \(\displaystyle{ h, }\) możemy z równania \(\displaystyle{ (1) }\) lub \(\displaystyle{ (2) }\) obliczyć szerokość ulicy \(\displaystyle{ s. }\)
Jak widzimy jest to numerycznie dość złożony problem.
Cały smak jest w tym, że znane są długości drabin \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) a nie wysokości ich oparcia \(\displaystyle{ H}\) i \(\displaystyle{ h}\) podobnie jak w tym egipskim zadaniu z trzcinkami w studni o czym pisze wyżej pan Elayne .
Wydaje mi się, że rozwiązanie janusz47 jest spoko. Każde z równań 9 i 10 można rozwiązać, bo są czwartego stopnia względem szukanej \(\displaystyle{ h}\) (albo \(\displaystyle{ H}\)), pozostałe wielkości są znane - to długości drabin i wysokość ich przecięcia. Jak się zna wysokości punktów oparć drabiny o ściany, to z tw. Pitagorasa znamy też odległość między budynkami.
Bo na tym polega ten smak, że wysokości nie są znany a wymagają obliczeń.
Rozswiązanie jest oczywista poprawne i eleganckie.
Dodano po 1 dniu 30 minutach 34 sekundach:
Smak zadania jest drażniący wyobraźnię.
Proszę zauważyć, że dla zadanej długości jednej drabiny i wymogu miary wysokości położenia punktu przecięcia się osi drabin, długość drugiej nie może być dowolna. Jeżeli pierwsza ma długość \(\displaystyle{ l_1}\) i przecina poziom położenia punktu przynależnego do obu drabin, (konstrukcja czerwonymi liniami), to długość drugiej drabiny \(\displaystyle{ l_2 }\) jest wynikiem konstrukcji niebieskimi linimi. Zachowując skale długości elementów rysunku, odcinki \(\displaystyle{ c }\) i \(\displaystyle{ l_1}\), otrzymuje się w tej skali odcinek \(\displaystyle{ s}\) oddalenia od siebie ścian budowli.
W takim razie: \(\displaystyle{ s = s_1 + s_2 = …}\)
Z podobieństwa mamy: \(\displaystyle{ \frac{a}{s} = \frac{a-c}{s_1} \Rightarrow s_1 = s \left( 1 - \frac{c}{a}\right) \\
\frac{b}{s} = \frac{b-c}{s_2} \Rightarrow s_2 = s \left( 1 - \frac{c}{b}\right) }\)
W takim razie: \(\displaystyle{ s = s_1 + s_2 = s\left[ \left( 1 - \frac{c}{a}\right) + \left( 1 - \frac{c}{b}\right)\right] \Rightarrow ab = c(a+b)}\)
Dodano po 2 godzinach 52 minutach 50 sekundach:
Weźmy na przykład dane z zagadki egipskiej. Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ x = 3, \ y = 2, \ c = 1.}\)
Mamy dwie możliwości, z tego \(\displaystyle{ ab = c(a+b)}\) możemy policzyć \(\displaystyle{ a}\) lub \(\displaystyle{ b.}\) \(\displaystyle{ a = \frac{bc}{b-c}, \ b \neq c; \\
b = \frac{ac}{a-c}, \ a \neq c}\)
Podstawiamy jedno z tych wyrażeń, np. \(\displaystyle{ b}\) do \(\displaystyle{ a^2 - b^2 = x^2 - y^2:}\) \(\displaystyle{ a^2 - \left( \frac{a \cdot 1}{a - 1}\right) ^2 = 3^2 - 2^2 \\
a^4 - 2a^3 - 5a^2 + 10a = 5 \\
a = 2,73572325237… \\
2,73572325237^2 - b^2 = 5 \\
b = 1,576128711… \\
2,73572325237^2 + s^2 = 3^2 \\
s = 1,231185728}\)
Trochę poszperałem w sieci. Podobne zadanie było już na tym forum: https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=629 https://matematyka.pl/viewtopic.php?f=64&t=39734
Przypadkiem trafiłem na post: Zadanie Egipskich Kapłanów
Tak się zastanawiam, czy tego typu zadanie można byłoby rozwiązać bez uciekania do metod numerycznych, np. z jakieś zależności między dwoma stożkami. Są na to jakieś realne szanse, czy jest to z góry skazane na niepowodzenie?
Na temat problemu przecięcia się drabin " crossed ladder problem" napisano wiele artykułów, W większości z nich, autorzy rozwiązują równania numerycznie.
Na przykład
Rozwiązanie z zależności między stożkami gdzieś spotkałem, ale nie pamiętam gdzie.
Więc obracamy budynki z ulicą (i studnię z tyczkami) o 90°
Powstaje trapez prostokątny...
I teraz zadanie można napisać:
przekątne trapezu prostokątnego o znanej długości x i y przecinają się w punkcie odległym od pionowego ramienia o wartość c. Oblicz wysokość trapezu ...
Hardcore.
Wiemy, że jeden z budynków jest wyższy od drugiego o \(\displaystyle{ 5}\) metrów oraz pod drabinami przejeżdża samochód dostawczy o szerokości \(\displaystyle{ 2}\) metrów i wysokości \(\displaystyle{ 3}\) metrów - górne narożniki samochodu dotykają drabin. Długość drabin jest nieznana. Rysunek poniżej. Jaka jest szerokość alejki?