Brak pierwiastków całkowitych

[Niepokonana]

Śmiem twierdzić, że ten wielomian dla wszystkich liczb nieparzystych przyjmuje wartości nieparzyste.

[a4karo]

BRawo.

A jak jest nieparzysty w punkcie \(-238356\) ?

[Niepokonana]

To nie ma miejsc zerowych wśród liczb całkowitych.

[a4karo]

Nie, to zbyt wczesny wniosek.

[Niepokonana]

jutro o tym porozmawiamy, dobranoc.

Dodano po 13 godzinach 30 minutach 25 sekundach:
Panie a4karo, zastanawiałam się nad tym. Żeby wielomian przyjmował wartości nieparzyste dla argumentów parzystych, jego wyraz wolny powinien być nieparzysty. Ale on przyjmuje wartości nieparzyste również dla argumentów nieparzystych, mając wyraz wolny nieparzysty. Z tego wynika, że suma współczynników wielomianu \(\displaystyle{ q(x)=w(x)-a_{0}}\) jest parzysta.

[a4karo]

Zapomnij na chwile o wszystkim, co było do tej pory. Masz twierdzenie (które udowodniłaś):
Twierdzenie:
Jeżeli \(w\) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to dla dowolnej liczby całkowitej \(n\)
liczby
\(w(n)\) i \(w(n+2)\)
są tej samej parzystości.

Odpowiedz na nastepujące pytania:

a) Jaki wniosek wyciągniesz z faktu, że \(w(-625446)\) jest nieparzyste?
b) Jaki wniosek wyciągniesz z faktu, że \(w(3167755)\) jest nieparzyste?
c) Jaki wniosek wyciągniesz z faktu, że \(w(-977437673400)\) jest parzyste?
d) Jaki wniosek wyciągniesz z faktu, że \(w(-995847811)\) jest nieparzyste?

Jak uogólnisz te obserwacje?

[Niepokonana]

a) No mówię, że wyraz wolny jest nieparzysty i liczba \(\displaystyle{ w(-625448)}\) też jest nieparzysta.
b) Że liczba \(\displaystyle{ w(3167757)}\) też jest nieparzysta
c) że \(\displaystyle{ w(-977437673402)}\) też jest parzyste.
d) \(\displaystyle{ w(−995847813)}\)też jest nieparzysta.
Wartości wielomianu Liczb tej samej parzystości są tej samej parzystości.

[a4karo]

OK.
To teraz udowodnij taki wniosek:
Jeżeli \(w\) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych takim, że dla pewnej liczby parzystej \(p_0\) i dla pewnej liczby nieparzystej \(n_0\) liczby \(w(p_0)\) i \(w(n_0)\) są nieparzyste, to wielomian nie ma pierwiastków całkowitych.

(Spróbuj nie myśleć o wyrazie wolnym )

[Niepokonana]

Będę myśleć o wyrazie wolnym i już!
Jeżeli wielomian dla argumentu parzystego przyjmuje wartość nieparzystą, wyraz wolny jest nieparzysty.
Ok co wiemy o różnicy tych wartości... Jest ona na pewno parzysta.

Dodano po 4 minutach 51 sekundach:
No bo skoro dla liczb parzystych wartości wielomianu są nieparzyste, dla nieparzystych też, to nie może on przyjmować wartości parzystej zero dla liczb całkowitych.

[a4karo]

No właśnie. I po co był ten wyraz wolny

Spróbujesz teraz napisać formalny dowód tego, co zrobiłaś? Tzn najpierw formalny dowód twierdzenia, a potem wniosku?

[Niepokonana]

W sensie z ostatnich dziesięciu postów? Ale jak napisać dowód formalny, nie znając znaczków ani języka polskiego na przyzwoitym poziomie?

[a4karo]

Jak gdzieś poczytasz dowody, to się nauczysz (niekoniecznie te pisane przez janusza47)

[Niepokonana]

Muszę przyznać, że świetnie Pan zaorał pana Janusza. XD
W sensie mam udowodnić, że skoro \(\displaystyle{ w(0)}\) jest nieparzyste i tak samo \(\displaystyle{ w(1)}\) to wielomian nie ma miejsc zerowych wśród liczb całkowitych?

[a4karo]

Chciałbym, żebyś spróbowała napisać formalny dowód twierdzenia
Twierdzenie:
Jeżeli \(w\) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to dla dowolnej liczby całkowitej \(n\)
liczby
\(w(n+2)\) i \(w(n)\)
są tej samej parzystości.

[Niepokonana]

No to jak to napisać... W sensie mam udowodnić, że są tej samej parzystości, bo ich różnica jest parzysta?
\(\displaystyle{ w(n+2)-w(n)=2a_{z}[(n+2)^{z-1}...+n^{z-1}]...+2a_{1}}\) i to jest parzyste dla \(\displaystyle{ n \in R}\)