Witam. Ostatnie złapałem mały mętlik. Wyjaśnię go na prostym przykładzie:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{10\cdot n}{n^2} \cdot \frac{5n}{n^2} \cdot ... \cdot \frac{5n}{n^2}\right) }\)
Z wcześniejszych przekształceń wiadomo, że liczba wyrazów \(\displaystyle{ \frac{5n}{n^2} }\) wynosi \(\displaystyle{ n}\).
Czy wówczas można zapisać: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{10\cdot n}{n^2} \cdot (1\cdot 1\cdot ...\cdot 1)\right) = \lim_{ n\to \infty } \frac{10\cdot n}{n^2} = 0}\)
Z jednej strony iloczyn jedynek daje nam 1, ale z drugiej jakby rozpatrzeć, że tych "1" jest "n", to granica wyjdzie zupełnie inna. Osobiście intuicja mi mówi, że pierwsza opcja jest absolutnie zła, jednak proszę o wskazanie właściwej i przede wszystkim - uzasadnienie, dlaczego jest zła.
Pozdrawiam,
Damian
Granica 'po kawałku'
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 23 mar 2019, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 16 razy
Granica 'po kawałku'
Ostatnio zmieniony 28 lis 2019, o 18:04 przez MlodyMatematykAmator, łącznie zmieniany 3 razy.
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Granica w stylu: 1*...*1
Nigdy w życiu. Nie wolno przechodzić do granicy "po kawałku".MlodyMatematykAmator pisze: ↑28 lis 2019, o 17:51Czy wówczas można zapisać: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{10\cdot n}{n^2} \cdot (1\cdot 1\cdot ...\cdot 1)\right) = \lim_{ n\to \infty } \frac{10\cdot n}{n^2} = 0}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 23 mar 2019, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 16 razy
Re: Granica 'po kawałku'
No to jeszcze szybciutkie pytanie. Z arytmetycznych własności granic, przy odpowiednich założeniach wynika, że:
Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} = a}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } b_{n} = b}\)
to wówczas
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} b_{n} = ab}\)
Czy odnosi się to tylko do dwóch wyrazów, czy można by dorzucić do iloczynu trzeci ciąg \(\displaystyle{ c_{n} }\) i tak w nieskończoność?
Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} = a}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } b_{n} = b}\)
to wówczas
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} b_{n} = ab}\)
Czy odnosi się to tylko do dwóch wyrazów, czy można by dorzucić do iloczynu trzeci ciąg \(\displaystyle{ c_{n} }\) i tak w nieskończoność?
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Granica 'po kawałku'
Tak.MlodyMatematykAmator pisze: ↑28 lis 2019, o 18:11Czy odnosi się to tylko do dwóch wyrazów, czy można by dorzucić do iloczynu trzeci ciąg \(\displaystyle{ c_{n} }\)
Nie. Możesz powtórzyć to tylko skończenie wiele razy.
Mam nadzieję, że zauważasz, że to nie jest sytuacja z Twojego pierwszego posta, w którym liczba składników w iloczynie też zależy od \(\displaystyle{ n}\).
JK