Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Nadine
Użytkownik
Posty: 124 Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz
Post
autor: Nadine » 5 lis 2019, o 21:07
Dilectus pisze: ↑ 5 lis 2019, o 10:10
\(\displaystyle{ x^4 − \frac{7x^3}{2} + x^2 +\frac{x}{2} + 1=0}\)
Łatwo zgadnąć, że jednym z pierwiastków tego równania jest liczba 1. Możemy więc napisać, że
\(\displaystyle{ x^4 − \frac{7x^3}{2} + x^2 +\frac{x}{2} + 1=(x-1)\left( x^3- \frac{5}{2}x^2- \frac{3}{2} x-1\right) =0}\)
Teraz wystarczy znaleźć pierwiastki tego wielomianu trzeciego stopnia, co na razie mnie się nie udało, ale pomyślę nad tym.
Sama to napisałam wcześniej
Dodano po 29 minutach 46 sekundach:
Użyłam wzoru Cardano ale mam problem, w moim przypadku
\(\displaystyle{ x= y- \frac{5}{6} }\)
po czym gdy to podstawiam wychodzi mi
\(\displaystyle{ 2x^3 - 10x^2 + \frac{19}{2}x-\frac{223}{54}}\)
Z tego co rozumiałam nie powinno mi nic wychodzić przy
\(\displaystyle{ x^2 }\)
Psiaczek
Użytkownik
Posty: 1502 Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 475 razy
Post
autor: Psiaczek » 5 lis 2019, o 21:53
Kobieto, musisz podstawić
\(\displaystyle{ x= y+ \frac{5}{6} }\)
sprawdź sama że zachodzi równość :
\(\displaystyle{ \left( y+ \frac{5}{6}\right)^3- \frac{5}{2}\left( y+ \frac{5}{6}\right)^2- \frac{3}{2}\left( y+ \frac{5}{6}\right)-1=y^3- \frac{43}{12} y- \frac{92}{27} .}\)
Ostatnio zmieniony 5 lis 2019, o 22:16 przez
Jan Kraszewski , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy.
Nadine
Użytkownik
Posty: 124 Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz
Post
autor: Nadine » 5 lis 2019, o 22:00
Tak zrobiłam tylko dałam zły znak już ok
daras170
Użytkownik
Posty: 707 Rejestracja: 24 mar 2014, o 19:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toronto
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 73 razy
Post
autor: daras170 » 28 lis 2019, o 08:46
Nadine pisze: ↑ 4 lis 2019, o 11:44
Znajdź wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu
\(\displaystyle{ x^4 − \frac{7x^3}{2} + x^2 +\frac{x}{2} + 1}\) . Znajdź wszystkie pierwiastki rzeczywiste tego wielomianu.
Jan Kraszewski pisze: ↑ 4 lis 2019, o 22:24
W ogólności: wzory Cardano (brrr...).
JK
Pierwiastki wymierne:
\(\displaystyle{ x_1 = 1}\) , pierwiastki rzeczywiste:
\(\displaystyle{ x_1 = 1,\ x_2\approx 2,2568}\)
są jeszcze 2 zespolone:
\(\displaystyle{ z_{1,2} \approx -1,1284 \pm 0,4864\cdot i}\) .
DG
Niepokonana
Użytkownik
Posty: 1548 Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 337 razy
Pomógł: 20 razy
Post
autor: Niepokonana » 28 lis 2019, o 15:48
Mnie uczono, że jeżeli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. A jak wymierne to są one dzielnik wyrazu wolnego przez dzielnik wyrazu przy najwyższej potędze, ale ja się nie znam.
Jan Kraszewski
Administrator
Posty: 34280 Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5203 razy
Post
autor: Jan Kraszewski » 28 lis 2019, o 15:52
Niepokonana pisze: ↑ 28 lis 2019, o 15:48
Mnie uczono, że jeżeli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. A jak wymierne to są one dzielnik wyrazu wolnego przez dzielnik wyrazu przy najwyższej potędze,
O ile jest to wielomian o współczynnikach całkowitych.
Ale co to ma wspólnego z tym tematem?
JK
Niepokonana
Użytkownik
Posty: 1548 Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 337 razy
Pomógł: 20 razy
Post
autor: Niepokonana » 28 lis 2019, o 15:57
Mówię, jak zrobić to zadanie. W tym przypadku wystarczy przemnożyć wielomian przez 2 i będą całkowite.
Jan Kraszewski
Administrator
Posty: 34280 Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5203 razy
Post
autor: Jan Kraszewski » 28 lis 2019, o 16:10
A przeczytałaś ten temat? To nie pomoże, bo ten wielomian ma tylko jeden pierwiastek całkowity (wymierny). Do tego jeden niewymierny i dwa zespolone.
JK
Nadine
Użytkownik
Posty: 124 Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz
Post
autor: Nadine » 28 lis 2019, o 19:33
Wracam do tego tematu aby się sprawdzić do końca.
Z tego co rozumiem dalej lecę tak
\(\displaystyle{
y^3-\frac{43y}{12}-\frac{92}{27}
}\)
\(\displaystyle{
y=s+\frac{43}{36s}
}\)
\(\displaystyle{
s^3 + \frac{79507}{46656 s^3} - \frac{92}{27} =0
}\)
\(\displaystyle{
z=s^3
}\)
\(\displaystyle{
z^2-\frac{92z}{27}+\frac{79507}{46656}=0
}\)
I dobra z tego policzę pierwiastki z ale co później, wracać jakoś czy te pierwiastki są moim rozwiązaniem
a4karo
Użytkownik
Posty: 22210 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3755 razy
Post
autor: a4karo » 28 lis 2019, o 19:37
A któż tak podnosi sumy do trzeciej potęgi?
daras170
Użytkownik
Posty: 707 Rejestracja: 24 mar 2014, o 19:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toronto
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 73 razy
Post
autor: daras170 » 28 lis 2019, o 19:47
Masz szczęście, że jeszcze nie wyrzuciłem tych kartek i mogę coś przepisać
W wiekowym (tak jak i ja) poradniku encyklopedycznym matematyka I.Bronsztejna znalazłem trochę inną, wygodniejszą postać kanoniczną
\(\displaystyle{ y^3+3py +2q = 0}\)
ale dalej liczy się podobnie czyli
\(\displaystyle{ 3p = -\frac{43}{12},\ 2q =-\frac{92}{27}}\) .
Teraz wyznacznik
\(\displaystyle{ D = q^2 + p^3 > 0 \Rightarrow}\) 1 pierwiastek rzeczywisty
\(\displaystyle{ (y_1)}\) i 2 zespolone
\(\displaystyle{ (y_2, y_3)}\)
\(\displaystyle{ y_1 = u + v,\\ y_2 = \epsilon_1 u + \epsilon_2 v,\\ y_3 = \epsilon_2 u + \epsilon_1 v}\) ,
gdzie
\(\displaystyle{ u = \sqrt[3]{-q+\sqrt{D}},\ \ v = \sqrt[3]{-q-\sqrt{D}}}\) ,
a
\(\displaystyle{ \epsilon_1, \ \epsilon_2}\) są pierwiastkami r-nia:
\(\displaystyle{ x^2 + x +1 = 0 \Rightarrow \ \epsilon_1 = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2},\ \ \epsilon_2 = -\frac{1}{2} -i \frac{\sqrt{3}}{2}}\) .
Ostatnio zmieniony 28 lis 2019, o 21:22 przez
Jan Kraszewski , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Nadine
Użytkownik
Posty: 124 Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz
Post
autor: Nadine » 28 lis 2019, o 21:21
Czy zawsze są to pierwiastki równania
\(\displaystyle{
x^2+x+1=0
}\)
czy to tylko w moim przypadku?
daras170
Użytkownik
Posty: 707 Rejestracja: 24 mar 2014, o 19:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toronto
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 73 razy
Post
autor: daras170 » 30 lis 2019, o 21:46
Nie przeliczałem nieskończonej ilości równań 4 stopnia ale wydaje mi się, że tak.