Pochodna funkcji złożonej

[p13]

\(\displaystyle{ h(x) = \ln x }\)
\(\displaystyle{ p(x) = \frac{1 - x }{x ^{3} } }\)
\(\displaystyle{ f(x) = p \circ h(x)}\)

Tak dla upewnienia, czy dobrze obliczyłem pochodną funkcji złożonej \(\displaystyle{ f(x)}\)?
Bardzo proszę o pomoc, gdyż nie czuję się najlepiej w tym temacie.
\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{ \frac{-3}{x} }{\ln ^{3} x} }\)

[MrCommando]

Może pokaż jak liczysz, to znajdziemy błąd. Po wklepaniu tego do Wolframa dostałem zupełnie inny wynik.

[p13]

\(\displaystyle{ f'(x) = \left( \frac{1}{\ln ^{3} x }\right)' - \left( \frac{1}{\ln ^{2}x } \right)' }\)

Liczę osobno pochodne funkcji złożonych (które są w mianownikach):
\(\displaystyle{ z(x) = x ^{3} }\)
\(\displaystyle{ w(x) = \ln x }\)

\(\displaystyle{ (\ln ^{3} x ) ' = \frac{1}{x} \cdot 2 (\ln x) ^{2} }\)
Podobnie robię z drugim mianownikiem i tam wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{x} \cdot 2 \ln x }\)

Wracam do głównej pochodnej i liczę z różnicy pochodnych ilorazów:
\(\displaystyle{ f'(x) = ... = \frac{\frac{-1}{x} \cdot 2 (\ln x) ^{2} }{\ln ^{3} x} - \frac{ \frac{1}{x} \cdot 2 \ln x}{\ln ^{4} x} }\) ,
później już tylko uprościłem. Byłbym dozgonnie wdzięczny za znalezienie błędu.

[MrCommando]

Po pierwsze to \(\displaystyle{ (\ln^3 x)'=3\ln ^2 x \cdot \frac{1}{x}}\), a nie \(\displaystyle{ 2\ln ^2 x \cdot \frac{1}{x}}\). Po drugie źle korzystasz ze wzoru na pochodną złożenia.

Mamy \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{\ln^3 x}\right)'=-\frac{1}{\ln^6 x} \cdot (\ln^3 x)'}\). Mianownik musisz podnieść do kwadratu, bo \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{t}\right)'=-\frac{1}{t^2}}\).

[piasek101]

Już jest - ale proponuję może zrobisz tak jak piszę niżej.
Błędy - brak kwadratów mianownika (bo pochodna ułamka), gdzieś Ci trójka zmieniła się w dwójkę).

Radzę klasycznie \(\displaystyle{ f(x)}\) w postaci jednego ułamka i pochodna licznika razy mianownik, minus licznik razy pochodna mianownika, przez kwadrat mianownika.

[p13]

Po pierwsze to \(\displaystyle{ (\ln^3 x)'=3\ln ^2 x \cdot \frac{1}{x}}\), a nie \(\displaystyle{ 2\ln ^2 x \cdot \frac{1}{x}}\). Po drugie źle korzystasz ze wzoru na pochodną złożenia.

Mamy \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{\ln^3 x}\right)'=-\frac{1}{\ln^6 x} \cdot (\ln^3 x)'}\). Mianownik musisz podnieść do kwadratu, bo \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{t}\right)'=-\frac{1}{t^2}}\).

Zastosowałem się do waszych rad i wyszedł mi wynik:
\(\displaystyle{ \frac{2 \ln ^{3} x - 3 \ln ^{2} }{x \cdot \ln ^{6} x } }\)
Czy tak?

[piasek101]

Tak - można to nieco uprościć i trzeba x-sa dopisać do jednego logarytmu.

[p13]

Bardzo, bardzo dziękuję za pomoc!