Rozkład wielomianu

[Nadine]

Rozłóż wielomian
\(\displaystyle{ x^{12} − 1 }\)
na iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej drugiego.
Czy ktoś pamięta wzór na to uwzględniający liczbę sprzężoną, albo po prostu zna metodę, nie licząc rozkładania na piechotę.

[AiDi]

Wzory skróconego mnożenia.

[Nadine]

Wzory skróconego mnożenia to jest rozkładanie na piechotę

[AiDi]

Myślałem, że rozkładanie na piechotę to korzystanie z twierdzenia Bezouta No nic, dla mnie to i tak najszybsza metoda, jak się pamięta wzory to rozwiązanie można zapisać w kilkanaście sekund...

[janusz47]

\(\displaystyle{ a^{n} -b^{n} = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + ...+ ab^{n-2} + b^{n-1})}\)

\(\displaystyle{ a = x, \ \ b = 1, \ \ n = 12. }\)

\(\displaystyle{ x^{12} -1 =...}\)

[Nadine]

\(\displaystyle{ (x-1)(x^11+x^10+....+x+1) }\)
Chociaż nie wiem co to właściwie mi daje. Dobra będę robić wzorami po prostu

[AiDi]

No i po co aż tak. Nie łatwiej zauważyć, że \(\displaystyle{ x^{12}-1=(x^6)^2-1^2}\) i korzystać kilka razy z prostszych wzorów?

[a4karo]

$$x^{12}-1=(x-1)(x+1)\prod_{k=1}^5\left(x-\cos\frac{k\pi}{6}-i\sin\frac{k\pi}{6}\right)\left(x-\cos\frac{k\pi}{6}+i\sin\frac{k\pi}{6}\right)$$