Wartość pochodnej w zerze funkcji parzystej
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Wartość pochodnej w zerze funkcji parzystej
Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ f(x)}\) jest funkcją parzystą oraz różniczkowalną w zerze to wówczas \(\displaystyle{ f'(0)=0}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wartość pochodnej w zerze funkcji parzystej
Liczyłem pochodne jednostronne w zerze, ale z parzystości funkcji istnienie jednej implikuje drugą. Poza tym w treści i tak jest podana ta różniczkowalność w zerze. Nie mam za bardzo pomysłu jak to zrobić dalej.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Wartość pochodnej w zerze funkcji parzystej
Proponuję rozpisać tę pochodną z definicji:
\(\displaystyle{ f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}}\) i zauważyć, że to jest równe
\(\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\frac{f(-h)}{-h}}\), dalej skorzystaj z parzystości i koniec.
\(\displaystyle{ f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}}\) i zauważyć, że to jest równe
\(\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\frac{f(-h)}{-h}}\), dalej skorzystaj z parzystości i koniec.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Wartość pochodnej w zerze funkcji parzystej
A może skorzystajmy z tego, że pochodna funkcji parzystej jest funkcją nieparzystą. Dość prosto w sumie można to pokazać.
Wtedy \(\displaystyle{ f'(x)=-f'(-x)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\), w których \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna, a w szczególności \(\displaystyle{ f'(0)=-f'(0)}\), czyli \(\displaystyle{ f'(0)=0}\).
Wtedy \(\displaystyle{ f'(x)=-f'(-x)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\), w których \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna, a w szczególności \(\displaystyle{ f'(0)=-f'(0)}\), czyli \(\displaystyle{ f'(0)=0}\).
-
- Administrator
- Posty: 34242
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wartość pochodnej w zerze funkcji parzystej
Z tego nie możesz skorzystać, bo nie wiesz nic o różniczkowalności funkcji \(\displaystyle{ f}\) poza zerem.MrCommando pisze: ↑19 lis 2019, o 14:39A może skorzystajmy z tego, że pochodna funkcji parzystej jest funkcją nieparzystą.
JK
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Wartość pochodnej w zerze funkcji parzystej
To prawda, niedokładnie przeczytałem.Jan Kraszewski pisze: ↑19 lis 2019, o 16:09Z tego nie możesz skorzystać, bo nie wiesz nic o różniczkowalności funkcji \(\displaystyle{ f}\) poza zerem.MrCommando pisze: ↑19 lis 2019, o 14:39A może skorzystajmy z tego, że pochodna funkcji parzystej jest funkcją nieparzystą.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Wartość pochodnej w zerze funkcji parzystej
Ale to nie przeszkadza: Możesz udowodnić (bo powołąć się nie wystarczy) taki fakt: jeżeli funkcja parzysta jest różniczkowalna w punkcie \(x\), to jest różniczkowalna w punkcie \(-x\) i \(f'(-x)=-f'(x)\), skąd w szczególności wynika teza. De facto dowód jest taki sam jak dowód tego, że pochodna w zerze znika.
Dodano po 6 minutach 55 sekundach:
A najprościej chyba tak:
Skoro \(\displaystyle{ f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}}\), to tam gdzie funkcja jet różniczkowalna mamy \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{f'(x)-f'(-x)}{2}}\) i już
Dodano po 6 minutach 55 sekundach:
A najprościej chyba tak:
Skoro \(\displaystyle{ f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}}\), to tam gdzie funkcja jet różniczkowalna mamy \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{f'(x)-f'(-x)}{2}}\) i już
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Wartość pochodnej w zerze funkcji parzystej
To dowodzi słabszej tezy, że jeśli funkcja parzysta jest różniczkowalna w punktach \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ -a}\), to \(\displaystyle{ f'(-a) = -f'(a)}\).a4karo pisze: ↑20 lis 2019, o 06:46jeżeli funkcja parzysta jest różniczkowalna w punkcie \(x\), to jest różniczkowalna w punkcie \(-x\) i \(f'(-x)=-f'(x)\), skąd w szczególności wynika teza.
[...]
A najprościej chyba tak:
Skoro \(\displaystyle{ f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}}\), to tam gdzie funkcja jet różniczkowalna mamy \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{f'(x)-f'(-x)}{2}}\)
Pełną tezę można otrzymać tak: funkcja \(\displaystyle{ g(x) = -x}\) jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ -a}\) a funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ g(-a)}\), więc \(\displaystyle{ f \circ g = f}\) jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ -a}\) oraz
\(\displaystyle{ f'(-a) = (f \circ g)'(-a) = f'(g(-a)) \cdot g'(-a) = f'(a) \cdot (-1) = -f'(a)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wartość pochodnej w zerze funkcji parzystej
Dziękuję Panowie za odpowiedzi. Jest mi bardzo miło widzieć, że mój post zainteresował moich największych autorytetów na forum!