Skracanie potęg.

[Dreamer357]

Trafiłem na ścianę i nie mogę znaleźć błędu. Gdzie się pomyliłem:

\(\displaystyle{ a(a+b+c)^{n}+b(b+c)^{n}+c(c)^{n} =\\
(a+b+c)(a+b+c)^{n}-(b+c)(a^{n}+(2ab)^{n-1}+(2ac)^{n-1})-c(b^{n}+(2bc)^{n-1})=}\)

\(\displaystyle{ (a+b+c)(a+b+c)^{n}\\
-c(a+b)^{n}\\
-(b)(a^{n})\\
-(b)((2ab)^{n-1}+(2ac)^{n-1})\\
-(c)((2ac)^{n-1}+ (2bc)^{n-1})=}\)

\(\displaystyle{ (a+b+c)(a+b+c)^{n}\\
-c(a+b)^{n}\\
-(b)(a^{n})\\
-(b)(2a(b+c))^{n-1} \\
-(c)(2c(a+b))^{n-1}}\)

Dotąd jest zawsze dobrze, dalej za każdym razem jak przekształcam, się mylę a to na pewno dalej się skraca. Ogólnie powinien być na to jakiś rekurencyjny wzór.

[Jan Kraszewski]

Trafiłem na ścianę i nie mogę znaleźć błędu. Gdzie się pomyliłem:

\(\displaystyle{ a(a+b+c)^{n}+b(b+c)^{n}+c(c)^{n} =\\
(a+b+c)(a+b+c)^{n}-(b+c)(a^{n}+(2ab)^{n-1}+(2ac)^{n-1})-c(b^{n}+(2bc)^{n-1})}\)

A skąd to odważne przypuszczenie, że ta równość jest prawdziwa? Podstaw sobie \(\displaystyle{ a=b=c=n=1.}\)

JK

[Dreamer357]

Jak to skąd?

\(\displaystyle{ (a^n)+ (a+b)^n=2(a+b)^{n}-(2ab)^{n-1}-b^{n}}\)

To wynika jasno z dwumianu Newtona. Myślałem, że to aksjomat, chyba nie poważasz dwumianu Newtona.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ (a^n)+ (a+b)^n=2(a+b)^{n}-(2ab)^{n-1}-b^{n}}\)

To wynika jasno z dwumianu Newtona. Myślałem, że to aksjomat, chyba nie poważasz dwumianu Newtona.

Przykro mi, ale to bzdura, a nie dwumian Newtona.

JK

[Dreamer357]

\(\displaystyle{ (a^n)+ (a+b)^n=2(a+b)^{n}-(2ab)^{n-1}-b^{n}}\)

\(\displaystyle{ 3^{2}+(3+4)^{2}=2(3+4)^{2}-2 \cdot 3 \cdot 4-4^2}\)
\(\displaystyle{ 9+49=98-24-16}\)
\(\displaystyle{ 58=58}\)

Dodano po 5 minutach 17 sekundach:
\(\displaystyle{ a^{n}+(2ab)^{n-1}+b^{n}=(a+b)^{2+(n-2)}}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ 3^{2}+(3+4)^{2}=2(3+4)^{2}-2 \cdot 3 \cdot 4-4^2}\)
\(\displaystyle{ 9+49=98-24-16}\)
\(\displaystyle{ 58=58}\)

No i co z tego? To, że równość raz zaszła nie oznacza jeszcze, że jest ogólnie prawdziwa. Np.

\(\displaystyle{ 1^3+(1+1)^3=9\ne 11=2\cdot (1+1)^3-(2\cdot 1\cdot 1)^2-1^3}\)

\(\displaystyle{ a^{n}+(2ab)^{n-1}+b^{n}=(a+b)^{2+(n-2)}}\)

To jest tak samo nieprawdziwe.

JK

[Dreamer357]

Ale zachodzi zawsze.

[Jan Kraszewski]

Ale zachodzi zawsze.

Nie. Właśnie pokazałem Ci przykład, gdzie nie zachodzi.

JK

[Dreamer357]

Popatrz jeśli \(\displaystyle{ a=b}\)


\(\displaystyle{ (a^n)+ (a+b)^n=2(a+b)^{n}-(2a^{2})^{n-1}+2b^{n}-b^{n}\\
(a^n)+ (a+b)^n=2(a+b)^{n}-(2a)^{n}+b^{n}\\
1^{3}+2^{3}=16-8+1\\
9=9}\)

Dodano po 31 minutach 3 sekundach:
Teraz ja pokazałem, dowód. Co Ty na to?

Dodano po 15 minutach 14 sekundach:
Działa zawsze po prostu nie przekształciłeś.

[a4karo]

A jeżeli \(a\neq b\)?

[Dreamer357]

W tedy nie podnosimy do \(\displaystyle{ a \cdot a}\) a mnożymy \(\displaystyle{ a \cdot b}\)

\(\displaystyle{ (a^n)+ (a+b)^n=2(a+b)^{n}-(2ab)^{n-1}+b^{n}}\)

\(\displaystyle{ 2^3+(2+3)^3=2(2+3)^3-(2 \cdot 2 \cdot 3)^{2}+3^{3}}\)
\(\displaystyle{ 8+125=250-144+27}\)
\(\displaystyle{ 133=133}\)

Tu zachodzi taki myk, że dla nieparzystych potęg \(\displaystyle{ n }\) dodajemy \(\displaystyle{ b^{n}}\), a dla parzystych odejmujemy.

[a4karo]

Błągam, masz swój wątek o dzieleniu wielomianów. Pisz sobie w nim co tylko chcesz, ale nie zakładaj nowych wątków, bo zwiększasz szanse na to, że ktoś to przeczyta i uwierzy, że to co piszesz jest prawdą.

[Jan Kraszewski]

Tu zachodzi taki myk, że dla nieparzystych potęg \(\displaystyle{ n }\) dodajemy \(\displaystyle{ b^{n}}\), a dla parzystych odejmujemy.

Tu nie ma żadnych myków, tylko kompletnie niepoprawne przekształcenia.

Zamykam wątek.

JK