Prawdopodobieństwo że zmienna losowa X mniejsza od zmiennej Y

[degel123]

Cześć mógłby ktoś wytłumaczyć jak liczymy prawdopodobieństwo że jedna zmienna losowa przyjmuje wartości mniejsze od innej? Tzn. mam zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) która ma rozkład Gamma z parametrami \(\displaystyle{ (2,1)}\) oraz zmienną \(\displaystyle{ Y}\) która ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=1}\). Jak obliczyć \(\displaystyle{ P(X<Y)}\)?

[janusz47]

\(\displaystyle{ X\sim \Gamma(2,1), \ \ Y \sim Exp(1) }\)

\(\displaystyle{ f_{X}(x) = \frac{2}{\Gamma(1)}e^{-2x} = 2e^{-2x}, \ 0 < x < \infty. }\)

\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = 1\cdot e^{-1\cdot y} = e^{-y}, \ \ 0\leq y < \infty. }\)

Musimy znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia:

\(\displaystyle{ P(\{ X < Y\}) = P_{X,Y}(\{ (x, y)\in \RR^2: x < y) \}) = P_{X,Y}(\{ (x, y)\in \RR^2: y - x > 0 \}) \ \ (1)}\)

Zakładając że zmienne losowe \(\displaystyle{ X, Y }\) są niezależne, znajdujemy ich gęstość łączną \(\displaystyle{ f_{X,Y} = ...}\)

Za pomocą całki podwójnej obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ (1). }\)

Patrz podobny przykład

viewtopic.php?f=42&t=442944

[degel123]

Ok chyba już rozumiem, w zeszycie miałem to rozpisane tak:
\(\displaystyle{ P(X<Y)= \int_{0}^{+\infty} P(X<x)\cdot e^{-x}dx}\) czyli całkujemy prawdopodobieństwo że \(\displaystyle{ X<x}\) i mnożymy przez gęstość zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) z czego robi się całka podwójna.

[janusz47]

Tak jest. Teraz nie "chyba" ale na pewno rozumiesz.