Sprawdź, czy ciąg jest zbieżny. Jeśli tak, znajdź jego granicę.
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ 3^{n} - n!}{ 2^{n} } }\)
Proszę o wskazówkę jak brać się za powyższy przykład. Próbowałem robić to stosując warunek Cauchy'ego oraz kryterium d'Alemberta, jednak do niczego w ten sposób nie doszedłem.
Pozdrawiam, Damian
Sprawdź, czy ciąg jest zbieżny
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 23 mar 2019, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 16 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Sprawdź, czy ciąg jest zbieżny
Przecież to nie szereg więc w jaki sposób próbowałeś z tego skorzystać.Próbowałem robić to stosując warunek Cauchy'ego oraz kryterium d'Alemberta, jednak do niczego w ten sposób nie doszedłem
Można udowodnić, że dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ 2 \cdot 4^n \le n!}\) zatem zachodzi też \(\displaystyle{ 3^n+4^n \le n!}\) więc \(\displaystyle{ 3^n-n! \le -4^n}\) więc również
\(\displaystyle{ \frac{3^n-n!}{2^n} \le - \frac{4^n}{2^n} }\)
co daje:
\(\displaystyle{ \frac{3^n-n!}{2^n} \le -2^n }\)
oszacowanie dąży do \(\displaystyle{ - \infty }\) więc nasza granica też.
Dodano po 6 minutach 1 sekundzie:
W celu wykazania \(\displaystyle{ 2 \cdot 4^n \le n!}\) można posłużyć się indukcją dla \(\displaystyle{ n \ge 10}\) powinno już przejść. Można też zauważyć, że:
\(\displaystyle{ 2\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{4^n}{n!} =2e^4}\)
Zatem ze zbieżności szeregu wynika, że \(\displaystyle{ \frac{2 \cdot 4^n}{n!}\to 0 }\) a z tego wynika (def. granicy \(\displaystyle{ \epsilon=1}\)), że od pewnego miejsca jest \(\displaystyle{ \frac{2 \cdot 4^n}{n!}<1}\) czyli \(\displaystyle{ 2 \cdot 4^n \le n!}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 23 mar 2019, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 16 razy
Re: Sprawdź, czy ciąg jest zbieżny
Dziękuję za odpowiedź.
A to nie jest tak, że jeśli szereg z wyrazem ogólnym \(\displaystyle{ a_{n} }\) jest rozbieżny, to sam ciąg będący wyrazem ogólnym również jest rozbieżny?Janusz Tracz pisze: ↑11 lis 2019, o 14:04 Przecież to nie szereg więc w jaki sposób próbowałeś z tego skorzystać.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Sprawdź, czy ciąg jest zbieżny
Nie. Szereg \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{n} }\) jest rozbieżny a ciąg \(\displaystyle{ \frac{1}{n} }\) jest zbieżny. Jest coś takiego jak warunek konieczny zbieżność szeregu i wydaje mi się, że go mylisz. Szereg \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_n}\) może być zbieżny jeśli spełnia warunek konieczny tj. \(\displaystyle{ a_n \rightarrow 0}\). Dlatego ten warunek często (jak to zwykle bywa z warunkami koniecznymi) wypowiada się dopiero wtedy gdy nie jest on spełniony bo wtedy staje się on ciekawy lub mówi się, że jeśli szereg \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_n}\) jest zbieżny to na pewno \(\displaystyle{ a_n \rightarrow 0}\).A to nie jest tak, że jeśli szereg z wyrazem ogólnym \(\displaystyle{ a_n}\)
jest rozbieżny, to sam ciąg będący wyrazem ogólnym również jest rozbieżny?
Na górę