II aksjomat przeliczalnośći

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 87
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta

II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: malwinka1058 » 10 lis 2019, o 15:26

Pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R^{2}}}\) z topologią generowaną przez metrykę "rzekę" nie spełnia II aksjomatu przeliczalności (przestrzeń ta nie ma przeliczalnej bazy).

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14373
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: Premislav » 10 lis 2019, o 16:11

Wskazówka: spróbuj wskazać nieprzeliczalnie wiele parami rozłącznych zbiorów otwartych w tej przestrzeni. Nie jest to trudne, jeśli wiesz, jak wyglądają zbiory otwarte w metryce rzeka.

malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 87
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: malwinka1058 » 10 lis 2019, o 18:52

W zależności od wyboru środka i promienia kule w tej metryce mają różne kształty, jednak w każdym przypadku aby pokryć całą płaszczyznę, potrzeba kule o ustalonym promieniu i środkach we wszystkich punktach należących do płaszczyzny (?)
Płaszczyzna jest nieprzeliczalna, zatem baza również
Czy dobrze rozumiem?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14373
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: Premislav » 10 lis 2019, o 21:47

Nie za bardzo. :(

malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 87
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: malwinka1058 » 10 lis 2019, o 22:04

Jak więc to uzasadnić? :cry:

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25585
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4265 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: Jan Kraszewski » 10 lis 2019, o 22:20

Premislav pisze:
10 lis 2019, o 16:11
Wskazówka: spróbuj wskazać nieprzeliczalnie wiele parami rozłącznych zbiorów otwartych w tej przestrzeni.
A rozumiesz tę wskazówkę?

JK

malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 87
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: malwinka1058 » 10 lis 2019, o 23:08

Trzeba pokazać, że jest nieprzeliczalnie wiele rozłącznych kul? Jak to formalnie zapisać?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8602
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1807 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: Dasio11 » 10 lis 2019, o 23:21

A wiesz już, jakie to kule?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25585
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4265 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: Jan Kraszewski » 10 lis 2019, o 23:21

malwinka1058 pisze:
10 lis 2019, o 23:08
Trzeba pokazać, że jest nieprzeliczalnie wiele rozłącznych kul?
A wiesz, dlaczego to wystarczy?
malwinka1058 pisze:
10 lis 2019, o 23:08
Jak to formalnie zapisać?
Normalnie, trzeba po prostu wskazać te zbiory. Może zacznij od dwóch.

Oczywiście rozumiem, że masz jakoś ustaloną "rzekę" (np. jako oś OX).

JK

malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 87
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: malwinka1058 » 11 lis 2019, o 00:51

Jan Kraszewski pisze:
10 lis 2019, o 23:21
malwinka1058 pisze:
10 lis 2019, o 23:08
Trzeba pokazać, że jest nieprzeliczalnie wiele rozłącznych kul?
A wiesz, dlaczego to wystarczy?
malwinka1058 pisze:
10 lis 2019, o 23:08
Jak to formalnie zapisać?
Normalnie, trzeba po prostu wskazać te zbiory. Może zacznij od dwóch.

Oczywiście rozumiem, że masz jakoś ustaloną "rzekę" (np. jako oś OX).

JK

Ponieważ wszystkie zbiory otwarte (kule) to sumy elementów z bazy.

Tak, rzeka to oś OX.

np. \(\displaystyle{ B((a,b),r)=\left\{ (a,y)\in\mathbb{R^{2}}: \left| y-b\right| <r \right\} }\) - jeden z występujących kształtów kul

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14373
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: Premislav » 11 lis 2019, o 01:01

To teraz weź jakieś ustalone \(\displaystyle{ y}\) i tak dobrane \(\displaystyle{ r}\), by \(\displaystyle{ y-r\ge 0 \vee y+r\le 0}\) (to w prosty sposób zapewni rozłączność) i dla tychże \(\displaystyle{ y,r}\) określ taki zbiór kul, jak podałaś, gdzie wartości \(\displaystyle{ a}\) przebiegają jakiś miły zbiór nieprzeliczalny…

malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 87
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: malwinka1058 » 11 lis 2019, o 11:39

Co wówczas z ze współrzędną b środka w tym zapisie?

Dodano po 14 minutach 39 sekundach:
Rozważmy kule następującej postaci: \(\displaystyle{ B_{a}((a,b),r)=\left\{ (a,y)\in\mathbb{R^{2}}: \left| y-b\right| <r \right\} }\)
Dobierając \(\displaystyle{ r}\) w ten sposób, aby \(\displaystyle{ r<\left| b\right| (r-b<0 \vee r+b>0)}\) otrzymujemy kule parami rozłączne. Przechodząc z \(\displaystyle{ a}\) po wartościach rzeczywistych, otrzymujemy nieprzeliczalnie wiele (bo \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) rozłącznych kul. Wszystkie zbiory otwarte (kule) są sumami elementów z bazy (el. bazy są tego samego kształtu), więc baza ta jest nieprzeliczalna.

Czy tak?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17157
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2883 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: a4karo » 11 lis 2019, o 12:36

Jak się podaje przykład, to fajnie, żeby był maksymalnie przejrzysty. Odcinki \(I_a=((a,1/2),(a,3/2))\) są rozłącznymi kulami w rzece. Ile ich jest?

malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 87
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: malwinka1058 » 11 lis 2019, o 12:46

Nieprzeliczalnie wiele, bo \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\)?

ODPOWIEDZ