II aksjomat przeliczalnośći

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: malwinka1058 »

Pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R^{2}}}\) z topologią generowaną przez metrykę "rzekę" nie spełnia II aksjomatu przeliczalności (przestrzeń ta nie ma przeliczalnej bazy).
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: Premislav »

Wskazówka: spróbuj wskazać nieprzeliczalnie wiele parami rozłącznych zbiorów otwartych w tej przestrzeni. Nie jest to trudne, jeśli wiesz, jak wyglądają zbiory otwarte w metryce rzeka.
malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: malwinka1058 »

W zależności od wyboru środka i promienia kule w tej metryce mają różne kształty, jednak w każdym przypadku aby pokryć całą płaszczyznę, potrzeba kule o ustalonym promieniu i środkach we wszystkich punktach należących do płaszczyzny (?)
Płaszczyzna jest nieprzeliczalna, zatem baza również
Czy dobrze rozumiem?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: Premislav »

Nie za bardzo. :(
malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: malwinka1058 »

Jak więc to uzasadnić? :cry:
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: Jan Kraszewski »

Premislav pisze: 10 lis 2019, o 16:11Wskazówka: spróbuj wskazać nieprzeliczalnie wiele parami rozłącznych zbiorów otwartych w tej przestrzeni.
A rozumiesz tę wskazówkę?

JK
malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: malwinka1058 »

Trzeba pokazać, że jest nieprzeliczalnie wiele rozłącznych kul? Jak to formalnie zapisać?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: Dasio11 »

A wiesz już, jakie to kule?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: Jan Kraszewski »

malwinka1058 pisze: 10 lis 2019, o 23:08Trzeba pokazać, że jest nieprzeliczalnie wiele rozłącznych kul?
A wiesz, dlaczego to wystarczy?
malwinka1058 pisze: 10 lis 2019, o 23:08Jak to formalnie zapisać?
Normalnie, trzeba po prostu wskazać te zbiory. Może zacznij od dwóch.

Oczywiście rozumiem, że masz jakoś ustaloną "rzekę" (np. jako oś OX).

JK
malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: malwinka1058 »

Jan Kraszewski pisze: 10 lis 2019, o 23:21
malwinka1058 pisze: 10 lis 2019, o 23:08Trzeba pokazać, że jest nieprzeliczalnie wiele rozłącznych kul?
A wiesz, dlaczego to wystarczy?
malwinka1058 pisze: 10 lis 2019, o 23:08Jak to formalnie zapisać?
Normalnie, trzeba po prostu wskazać te zbiory. Może zacznij od dwóch.

Oczywiście rozumiem, że masz jakoś ustaloną "rzekę" (np. jako oś OX).

JK

Ponieważ wszystkie zbiory otwarte (kule) to sumy elementów z bazy.

Tak, rzeka to oś OX.

np. \(\displaystyle{ B((a,b),r)=\left\{ (a,y)\in\mathbb{R^{2}}: \left| y-b\right| <r \right\} }\) - jeden z występujących kształtów kul
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: Premislav »

To teraz weź jakieś ustalone \(\displaystyle{ y}\) i tak dobrane \(\displaystyle{ r}\), by \(\displaystyle{ y-r\ge 0 \vee y+r\le 0}\) (to w prosty sposób zapewni rozłączność) i dla tychże \(\displaystyle{ y,r}\) określ taki zbiór kul, jak podałaś, gdzie wartości \(\displaystyle{ a}\) przebiegają jakiś miły zbiór nieprzeliczalny…
malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: malwinka1058 »

Co wówczas z ze współrzędną b środka w tym zapisie?

Dodano po 14 minutach 39 sekundach:
Rozważmy kule następującej postaci: \(\displaystyle{ B_{a}((a,b),r)=\left\{ (a,y)\in\mathbb{R^{2}}: \left| y-b\right| <r \right\} }\)
Dobierając \(\displaystyle{ r}\) w ten sposób, aby \(\displaystyle{ r<\left| b\right| (r-b<0 \vee r+b>0)}\) otrzymujemy kule parami rozłączne. Przechodząc z \(\displaystyle{ a}\) po wartościach rzeczywistych, otrzymujemy nieprzeliczalnie wiele (bo \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) rozłącznych kul. Wszystkie zbiory otwarte (kule) są sumami elementów z bazy (el. bazy są tego samego kształtu), więc baza ta jest nieprzeliczalna.

Czy tak?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: a4karo »

Jak się podaje przykład, to fajnie, żeby był maksymalnie przejrzysty. Odcinki \(I_a=((a,1/2),(a,3/2))\) są rozłącznymi kulami w rzece. Ile ich jest?
malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: malwinka1058 »

Nieprzeliczalnie wiele, bo \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\)?
ODPOWIEDZ