Obliczyć pole wyznaczone przez krzywą

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Obliczyć pole wyznaczone przez krzywą

Post autor: Unforg1ven »

Obliczyć pole obszaru \(\displaystyle{ K \subset \mathbb{R}^2 }\) ograniczonego krzywą \(\displaystyle{ (x,y):=(\sin 2 \phi , \sin 3 \phi) }\) dla \(\displaystyle{ \phi\in [0,\pi]}\), tej krzywej.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Obliczyć pole wyznaczone przez krzywą

Post autor: Janusz Tracz »

Z wzoru Greena wynika (to znany fakt uwaga pdf: str 22.8), że możesz policzyć:
\(\displaystyle{ \text{pole } K= \frac{1}{2} \oint_{ \partial K} x\dd y - y\dd x }\)
Zastosowanie tego wzoru w tym przykładzie sprowadza się do podstawienia danych zatem:

\(\displaystyle{ \text{pole } K= \frac{1}{2} \oint_{ \partial K} x\dd y - y\dd x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \left( x(\phi) \frac{\dd y}{ \dd \phi} - y(\phi) \frac{\dd x}{ \dd \phi} \right) \dd \phi }\)

Policz \(\displaystyle{ \frac{\dd y}{ \dd \phi}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{\dd x}{ \dd \phi}}\) wstaw resztę. Całość powinna mocno się uprościć i wyjdzie 'zwykła' całka trygonometryczna.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Obliczyć pole wyznaczone przez krzywą

Post autor: a4karo »

Ciężko się liczy pole ograniczone niezamknieta krzywa
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Obliczyć pole wyznaczone przez krzywą

Post autor: Unforg1ven »

a4karo pisze: 9 lis 2019, o 14:51 Ciężko się liczy pole ograniczone niezamknieta krzywa
Wolfram mówi co innego.

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28sin+2a%2C+sin+3a%29+a%3D+%5B0%2Cpi%5D
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Obliczyć pole wyznaczone przez krzywą

Post autor: a4karo »

Początek tej krzywej to \((0,1)\) koniec to \((0,-1)\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Obliczyć pole wyznaczone przez krzywą

Post autor: Janusz Tracz »

Ciężko się liczy pole ograniczone niezamknieta krzywa
Krzywa jest zamknięta, początek jak i jej koniec to punkt \(\displaystyle{ \left( 0,0\right) }\). Domyślam się jednak, że pewnie masz na myśli \(\displaystyle{ \left( \sin 2 \phi , \cos 3 \phi\right) }\) zamiast \(\displaystyle{ \left( \sin 2 \phi , \sin 3 \phi\right) }\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Obliczyć pole wyznaczone przez krzywą

Post autor: a4karo »

Faktycznie. Przepraszam za zamieszanie
ODPOWIEDZ