Obliczyć pole wyznaczone przez krzywą
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Obliczyć pole wyznaczone przez krzywą
Obliczyć pole obszaru \(\displaystyle{ K \subset \mathbb{R}^2 }\) ograniczonego krzywą \(\displaystyle{ (x,y):=(\sin 2 \phi , \sin 3 \phi) }\) dla \(\displaystyle{ \phi\in [0,\pi]}\), tej krzywej.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Obliczyć pole wyznaczone przez krzywą
Z wzoru Greena wynika (to znany fakt uwaga pdf: str 22.8), że możesz policzyć:
\(\displaystyle{ \text{pole } K= \frac{1}{2} \oint_{ \partial K} x\dd y - y\dd x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \left( x(\phi) \frac{\dd y}{ \dd \phi} - y(\phi) \frac{\dd x}{ \dd \phi} \right) \dd \phi }\)
Policz \(\displaystyle{ \frac{\dd y}{ \dd \phi}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{\dd x}{ \dd \phi}}\) wstaw resztę. Całość powinna mocno się uprościć i wyjdzie 'zwykła' całka trygonometryczna.
\(\displaystyle{ \text{pole } K= \frac{1}{2} \oint_{ \partial K} x\dd y - y\dd x }\)
Zastosowanie tego wzoru w tym przykładzie sprowadza się do podstawienia danych zatem: \(\displaystyle{ \text{pole } K= \frac{1}{2} \oint_{ \partial K} x\dd y - y\dd x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \left( x(\phi) \frac{\dd y}{ \dd \phi} - y(\phi) \frac{\dd x}{ \dd \phi} \right) \dd \phi }\)
Policz \(\displaystyle{ \frac{\dd y}{ \dd \phi}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{\dd x}{ \dd \phi}}\) wstaw resztę. Całość powinna mocno się uprościć i wyjdzie 'zwykła' całka trygonometryczna.
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Obliczyć pole wyznaczone przez krzywą
Wolfram mówi co innego.
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28sin+2a%2C+sin+3a%29+a%3D+%5B0%2Cpi%5D
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Obliczyć pole wyznaczone przez krzywą
Krzywa jest zamknięta, początek jak i jej koniec to punkt \(\displaystyle{ \left( 0,0\right) }\). Domyślam się jednak, że pewnie masz na myśli \(\displaystyle{ \left( \sin 2 \phi , \cos 3 \phi\right) }\) zamiast \(\displaystyle{ \left( \sin 2 \phi , \sin 3 \phi\right) }\).Ciężko się liczy pole ograniczone niezamknieta krzywa