Dziedzina funkcji

[qwerty355]

Witam, mam problem z zadaniem, które polega na wyznaczeniu dziedziny następujących funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x-4}}\)
oraz
\(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{(x-2)(x-4)} }\)
Wiem, że wyznaczając dziedzinę takiej funkcji należy sprawdzić, kiedy wyrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne i nie mam problemu, aby to obliczyć (dla pierwszej wyszło mi, że dziedzina to przedział \(\displaystyle{ \left\langle 4; \infty\right\rangle}\), natomiast dla drugiej \(\displaystyle{ (-\infty; 2\rangle \cup \langle 4;\infty)}\)) jednak zastanawia mnie, dlaczego korzystając z własności pierwiastków \(\displaystyle{ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b} }\) nie można zapisać tych dwóch funkcji tak samo. Mógłby mi to ktoś wyjaśnić?

[Dasio11]

Dlatego że równość \(\displaystyle{ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}}\) zachodzi tylko dla takich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a, b}\), dla których obie strony równości mają sens, czyli takich że \(\displaystyle{ a, b \ge 0}\).

Przykładowo: gdybyś próbował obliczyć lewą stronę dla \(\displaystyle{ a = -3, b = -5}\), to dostałbyś \(\displaystyle{ \sqrt{-3} \cdot \sqrt{-5}}\). Ponieważ zapisy \(\displaystyle{ \sqrt{-3}}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{-5}}\) nie mają sensu, więc tym bardziej nie ma sensu mnożenie ich przez siebie, więc lewa strona jest nieokreślona. Obliczając zaś prawą stronę, dostajemy \(\displaystyle{ \sqrt{(-3)(-5)} = \sqrt{15}}\) i to wyrażenie ma sens. W tym przypadku równość nie zachodzi, bo zapis, który nie ma sensu, nie może mieć wartości liczbowej takiej jak zapis, który ma sens.

Dopiero w przypadku, kiedy obie strony równości mają sens, równość ma szansę zachodzić i zachodzi.

[Niepokonana]

Nie znam się, ale matemaks potwierdza moje przypuszczenia.
Druga funkcja ma pod pierwiastkiem funkcję kwadratową (zwykłą taką tj. bez udziwnień) w formie iloczynowej. Jej współczynnik \(\displaystyle{ a}\) przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) jest dodatni, a jej miejsca zerowe po odczytaniu to \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 4}\). Trzeba znaleźć, dla jakich iksów ta funkcja kwadratowa przyjmuje wartości nieujemne i to będzie dziedzina do całości. Tak ja to policzyłam.

[qwerty355]

Dlatego że równość \(\displaystyle{ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}}\) zachodzi tylko dla takich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a, b}\), dla których obie strony równości mają sens, czyli takich że \(\displaystyle{ a, b \ge 0}\).

Przykładowo: gdybyś próbował obliczyć lewą stronę dla \(\displaystyle{ a = -3, b = -5}\), to dostałbyś \(\displaystyle{ \sqrt{-3} \cdot \sqrt{-5}}\). Ponieważ zapisy \(\displaystyle{ \sqrt{-3}}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{-5}}\) nie mają sensu, więc tym bardziej nie ma sensu mnożenie ich przez siebie, więc lewa strona jest nieokreślona. Obliczając zaś prawą stronę, dostajemy \(\displaystyle{ \sqrt{(-3)(-5)} = \sqrt{15}}\) i to wyrażenie ma sens. W tym przypadku równość nie zachodzi, bo zapis który nie ma sensu, nie może mieć wartości liczbowej takiej jak zapis, który ma sens.

Dopiero w przypadku, kiedy obie strony równości mają sens, równość ma szansę zachodzić i zachodzi.

Dzięki, teraz już rozumiem.

Nie znam się, ale matemaks potwierdza moje przypuszczenia.
Druga funkcja ma pod pierwiastkiem funkcję kwadratową (zwykłą taką tj. bez udziwnień) w formie iloczynowej. Jej współczynnik \(\displaystyle{ a}\) przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) jest dodatni, a jej miejsca zerowe po odczytaniu to \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 4}\). Trzeba znaleźć, dla jakich iksów ta funkcja kwadratowa przyjmuje wartości nieujemne i to będzie dziedzina do całości. Tak ja to policzyłam.

Dokładnie, też w ten sposób to liczyłem. Moje pytanie było jednak nieco inne Dasio już chyba wyczerpał temat.