Na studiach spotkałam się z zadaniami, z którymi nie potrafię sobie poradzić . Bardzo proszę o pomoc.
1.Udowodnij, że n-sympleks \(\displaystyle{ \sigma}\) generowany przez punkty \(\displaystyle{ a_0,a_1,...,a_n}\) jest zbiorem zwartym i wypukłym, który równy jest przecięciu wszystkich zbiorów wypukłych zawierających punkty \(\displaystyle{ a_0,a_1,...,a_n}\).
2.Udowodnij, że dla danego n-sympleksu \(\displaystyle{ \sigma}\) generowanego przez \(\displaystyle{ a_0,a_1,...,a_n}\) zbiór Int \(\displaystyle{ \sigma}\) jest
wypukły i otwarty w płaszczyźnie P generowanej przez wierzchołki \(\displaystyle{ \sigma}\), zaś jego domknięciem jest \(\displaystyle{ \sigma}\). Udowodnij też, że Int \(\displaystyle{ \sigma}\) jest sumą mnogościową wszystkich otwartych odcinków łączących \(\displaystyle{ a_0}\) z punktami zbioru Int s, gdzie
s jest ścianą \(\displaystyle{ \sigma}\) leżącą naprzeciw \(\displaystyle{ a_0}\).
I coś o zbiorze gwieździście wypukłym:
3. Zbiór \(\displaystyle{ U \subset \mathbb{R}^N}\) nazywamy gwiaździście wypukłym względem punktu 0, jeżeli dla każdego
punktu \(\displaystyle{ x \in U}\) odcinek łączący 0 z punktem x jest zawarty w U. Udowodnij, że jeżeli U jest zbiorem gwiaździście
wypukłym względem 0, to promień wychodzący z 0 może przeciąć Bd U w więcej niż jednym punkcie oraz że U
nie musi być homeomorficzne z \(\displaystyle{ B^N}\).
Wystarczy więc wykazać, że \(\displaystyle{ \Delta_n}\) jest zwarty. Ale to jest proste na mocy twierdzenia, że domknięte i ograniczone podzbiory \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{k}}\) są zwarte.
Weźmy dowolne dwa punkty \(\displaystyle{ p = \sum_{i=0}^{n} \alpha_i b_i}\) i \(\displaystyle{ q = \sum_{i=0}^{n} \beta_i b_i}\) należące do \(\displaystyle{ [b_0, \ldots, b_n]}\) i dowolną liczbę \(\displaystyle{ t \in [0, 1]}\). Chcemy sprawdzić, że \(\displaystyle{ t \cdot p + (1-t) \cdot q \in [b_0, \ldots, b_n]}\). W tym celu liczymy:
\(\displaystyle{ t \cdot p + (1-t) \cdot q = t \cdot \sum_{i=0}^{n} \alpha_i b_i + (1-t) \cdot \sum_{i=0}^{n} \beta_i b_i = \sum_{i=0}^{n} \big( t \cdot \alpha_i + (1-t) \cdot \beta_i \big) \cdot b_i}\).
Oznaczając \(\displaystyle{ \gamma_i = t \cdot \alpha_i + (1-t) \cdot \beta_i}\), mamy oczywiście \(\displaystyle{ \gamma_i \ge 0}\) oraz
a stąd \(\displaystyle{ (\gamma_0, \ldots, \gamma_{n}) \in \Delta_{n}}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ t \cdot p + (1-t) \cdot q = \sum_{i=0}^{n} \gamma_i b_i \in [b_0, \ldots, b_{n}]}\), co kończy dowód.
\(\displaystyle{ \bullet}\) niech \(\displaystyle{ C^*}\) będzie przekrojem wszystkich zbiorów wypukłych zawierających punkty \(\displaystyle{ a_0, \ldots, a_n}\). Skoro zbiór \(\displaystyle{ [a_0, \ldots, a_n]}\) jest zbiorem wypukłym zawierającym punkty \(\displaystyle{ a_0, \ldots, a_n}\), to \(\displaystyle{ C^* \subseteq [a_0, \ldots, a_n]}\). Aby wykazać zawieranie w drugą stronę, wystarczy udowodnić indukcją względem \(\displaystyle{ 0 \le k \le n}\), że dla dowolnych \(\displaystyle{ (\alpha_0, \ldots, \alpha_k) \in \Delta_k}\) jest \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^k \alpha_i a_i \in C^*}\).
Dla \(\displaystyle{ k = 0}\) teza wynika z tego, że \(\displaystyle{ a_0 \in C^*}\). Ustalmy więc dowolne \(\displaystyle{ 0 \le k \le n}\) i załóżmy, że teza jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ k}\), oraz ustalmy dowolne \(\displaystyle{ (\alpha_0, \ldots, \alpha_{k+1}) \in \Delta_{k+1}}\). Jeśli \(\displaystyle{ \alpha := \sum_{i=0}^k \alpha_i = 0}\), to \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k+1} \alpha_i a_i = a_{k+1} \in C^*}\); w przeciwnym razie dla \(\displaystyle{ 0 \le i \le k}\) połóżmy \(\displaystyle{ \beta_i = \frac{\alpha_i}{\alpha}}\). Wtedy \(\displaystyle{ (\beta_0, \ldots, \beta_k) \in \Delta_k}\), więc z założenia indukcyjnego mamy \(\displaystyle{ a := \sum_{i=0}^k \beta_i \cdot a_i \in C^*}\). Ponadto \(\displaystyle{ a_{k+1} \in C^*}\), skoro zaś \(\displaystyle{ C^*}\) jest wypukły jako przekrój zbiorów wypukłych, to \(\displaystyle{ \alpha \cdot a + (1-\alpha) \cdot a_{k+1} \in C^*}\). Jednak
. Bardzo proszę o pomoc.
