Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.

[dawid.barracuda]

Cześć wszystkim

Mam takie zadanie: dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) równanie \(\displaystyle{ \left| x-a-3 \right|=2-a }\) ma dwa rozwiązania dodatnie?
Kilka lat minęło od matury i przyznam, że trochę zardzewiałem. Gdybym nie miał parametru w wartości bezwzględnej to bym to sobie zwyczajnie narysował. Tutaj jednak nie mam pomysłu, bo parametr trochę mi to rysowanie utrudnia.
W jaki sposób podejść do tego zadania?

Dzięki z góry za wszelkie wskazówki i pozdrawiam,
Dawid.

[Premislav]

Oczywiście musi być \(\displaystyle{ a\le 2}\), gdyż jeśli \(\displaystyle{ a>2}\), to \(\displaystyle{ 2-a<0}\), więc z uwagi na nieujemność wartości bezwzględnej nie może zajść \(\displaystyle{ |x-a-3|=2-a}\).
Teraz tak: dla \(\displaystyle{ a\le 2}\) mamy
\(\displaystyle{ |x-a-3|=2-a\Leftrightarrow x-a-3=2-a\vee x-a-3=-(2-a)\\ \Leftrightarrow x=5\vee x=2a+1}\). Będą to dwa dodatnie rozwiązania, gdy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a\le 2\\2a+1\neq 5\\2a+1>0 \end{cases}}\)
(pierwszy warunek już wyjaśniłem, środkowy służy temu, by rozwiązania się nie pokrywały, a ostatni chyba jest jasny).
Stąd otrzymujemy, że \(\displaystyle{ a\in \left(-\frac{1}{2},2\right)}\).

[dawid.barracuda]

Mam dalej jakieś zaćmienie, nie jestem w stanie jasno powiedzieć skąd jest ostatni warunek. Pierwsze dwa nie ulegają wątpliwości, tak samo nieujemność wartości bezwzględnej nie ulega wątplwiości jednak przy trzecim warunku się zamuliłem. Nie widzę tutaj powiązania między trzecim warunkiem a nieujemnością wartości bezwzględnej.

[Premislav]

Rozwiązałem to równanie z wartością bezwzględną w zależności od \(\displaystyle{ a\le 2}\). Jednym z dwóch otrzymanych rozwiązań jest
\(\displaystyle{ 2a+1}\), więc aby oba rozwiązania były dodatnie, po pierwsze te rozwiązania muszą być różne (za co odpowiada drugi warunek), po drugie to drugie rozwiązanie, czyli \(\displaystyle{ x=2a+1}\) musi być dodatnie, tj. ma zachodzić \(\displaystyle{ 2a+1>0}\), tego wymagają warunki zadania.

[dawid.barracuda]

Tak to jest jak się pisze polecenie i się go nie czyta... zapomniałem na śmierć o warunku "ma dwa rozwiązania dodatnie". Oczywiście, teraz sprawa jest jasna. Dzięki za pomoc i pozdrawiam!

[janusz47]

\(\displaystyle{ |x -a -3| = 2- a }\)

\(\displaystyle{ 2 -a \geq 0 \ \ (1) }\)

Podnosimy obie strony równania do kwadratu

\(\displaystyle{ |x -a -3|^2 = (2- a)^2 }\)

Otrzymujemy równanie kwadratowe

\(\displaystyle{ x^2 -2(a+3)x +10a +5 = 0 }\) (proszę sprawdzić)

Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązanie dodatnie, gdy

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta \geq 0 \\ x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} >0 \\ x_{1}\cdot x_{2} = \frac{c}{a}>0 \end{cases} }\)

[dawid.barracuda]

@janusz47 - fajne podejście do zadania, na funkcję kwadratową bym nie wpadł w tym przypadku.

[janusz47]

\(\displaystyle{ a \in \left( -\frac{1}{2}, \ \ 2 \right ]. }\)

[piasek101]

Uważam, że trzeba od początku zakładać \(\displaystyle{ 2-a>0}\) (\(\displaystyle{ a=2}\) nie spełnia warunków zadania).

[janusz47]

Dlaczego nie spełnia ?

[AiDi]

A czy równanie \(\displaystyle{ |x-5|=0}\) ma dwa rozwiązania dodatnie?

[janusz47]

Równanie wyjściowe ma jedno rozwiązanie dodatnie \(\displaystyle{ x_{1} = 5}\) dla warości parametru \(\displaystyle{ a = 2.}\)

Podnosząc je stronami do kwadratu uzyskujemy równanie

\(\displaystyle{ x^2 -2(a+3)x + 10a +5 = 0 }\)

Wyróżnik tego równania

\(\displaystyle{ \Delta(a) = a^2 -4a + 4 = (a-2)^2 }\)

Korekta

Musimy więc przyjąć (nierówność ostrą) \(\displaystyle{ (a -2)^2 >0 }\) - wtedy równanie równanie kwadratowe wraz z warunkami wynikającymi ze wzorów Viete'a będzie miało dwa różne pierwiastki dodatnie, odrzucając możliwość istnienia pierwiastka dwukrotnego.