Matura podstawowa z matematyki 2019

Przygotowanie do egzaminu dojrzałości. Zestawy zadań. Wyniki i przebieg rekrutacji na studia.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: a4karo »

Ponieważ
\(\displaystyle{ 2(3x^2-2xy+3y^2)+2(3z^2-2zt+3t^2)-(3(x+z)^2-2(x+z)(y+t)+\\+3(y+t)^2)-(3(x-z)^2-2(x-z)(y-t)+3(y-t)^2)=0}\)
wnioskujemy, że norna \(\displaystyle{ ||(a,b)||^2=3a^2-2ab+3b^2}\) spełnia warunek równoległoboku, czyli jest generowana przez iloczyn skalarny, zatem \(\displaystyle{ 3a^2-2ab+3b^2\geq 0.}\)
Ostatnio zmieniony 8 maja 2019, o 00:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 554
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 107 razy

Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: MrCommando »

Dobra, to jak tak, to skoro mi się tak dzisiaj nudzi, to napiszę co jeszcze przyszło mi do głowy

Rozważmy formę kwadratową \(\displaystyle{ q: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}}\) daną wzorem \(\displaystyle{ q(x)=3x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2}\) dla \(\displaystyle{ x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2}\). Forma biegunowa \(\displaystyle{ f}\) stowarzyszona z \(\displaystyle{ q}\) dana będzie wzorem \(\displaystyle{ f(x,y)=4x_1y_1+4x_2y_2-x_1x_2-x_1y_2-x_2y_1-y_1y_2}\), gdzie \(\displaystyle{ x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2}\) i \(\displaystyle{ y=(y_1,y_2)\in\mathbb{R}^2}\). Macierz \(\displaystyle{ \mathbf{X}}\) tej formy w bazie kanonicznej będzie wyglądała tak: \(\displaystyle{ \mathbf{X} =
\left[ \begin{array}{ccc}
3 & -1\\
-1 & 3
\end{array} \right]}\)
. Jej wielomian charakterystyczny to \(\displaystyle{ w(\lambda)=\det(X-\lambda I)=(3-\lambda)^2-1=(\lambda-4)(\lambda-2)}\). Zatem wartościami własnymi danej formy są \(\displaystyle{ \lambda_1=2}\), \(\displaystyle{ \lambda_2=4}\). Skoro więc \(\displaystyle{ \lambda_i >0}\) dla \(\displaystyle{ i\in [2]}\), to na mocy kryterium wartości własnych forma kwadratowa \(\displaystyle{ q}\) jest dodatnio określona, zatem dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b \in\mathbb{R}}\) takich że \(\displaystyle{ a^2+b^2 \neq 0}\) mamy \(\displaystyle{ 3a^2-2ab+3b^2 >0}\). Oczywiście gdy \(\displaystyle{ a=b=0}\) (gdy \(\displaystyle{ (a,b)}\) jest wektorem zerowym) to wyjściowa nierówność stanie się równością. Zatem mamy to o co nam chodziło.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: Tmkk »

Ciekawe ile osób poległoby na tym zadaniu, gdyby zmienić wyrażenie na \(\displaystyle{ 3a^2 - ab + 3b^3}\)...
Awatar użytkownika
VirtualUser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 443
Rejestracja: 2 wrz 2017, o 11:13
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 113 razy
Pomógł: 15 razy

Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: VirtualUser »

tyle, że to już nie jest prawdziwe
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 554
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 107 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: MrCommando »

VirtualUser, jak najbardziej jest. Mamy \(\displaystyle{ 3a^2-ab+3b^2=2a^2+2b^2+a^2-ab+b^2=2a^2+2b^2+\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2 \geq 0}\).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: Jan Kraszewski »

MrCommando pisze:VirtualUser, jak najbardziej jest. Mamy \(\displaystyle{ 3a^2-ab+3b^2=...}\).
No chyba jednak nie...
Tmkk pisze:Ciekawe ile osób poległoby na tym zadaniu, gdyby zmienić wyrażenie na \(\displaystyle{ 3a^2 - ab + 3b^{\red 3}}\)...
JK
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: Tmkk »

Tak, miało być \(\displaystyle{ b^2}\), nie trafiłem w cyferkę, którą chciałem napisać. Swoją drogą, to też byłoby 'ciekawe' zadanie: sprawdź, czy zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 3a^2 -ab + 3b^3 \ge 0}\).
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 926
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 274 razy

Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: Elayne »

28 inaczej:
\(\displaystyle{ 3a^2-2ab+3b^2 = 2(a-b)^2 + (a+b)^2 \ge 0 \ \ \text{Q.E.D.}}\)
Proste jest piękne.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: kerajs »

I)
\(\displaystyle{ 3a^2-2ab+3b^2 = 2a^2 + (a-b)^2+2b^2 \ge 0}\)

II)
\(\displaystyle{ W(a)=3a^2-2ab+3b^2\\
\Delta=4b^2-4 \cdot 9b^2=4 \cdot (-8b^2) \le 0}\)


III)
Niech \(\displaystyle{ 0 \le a \le b}\)
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[scale=0.4]
\fill[blue!30!white] (0,6)--(0,12)--(4,12)--(4,6)--(0,6);
\fill[blue!30!white] (4,9)--(7,9)--(7,0)--(4,0)--(4,9);

\draw[red,very thick] (0,3)--(0,6)--(4,6)--(4,0)--(0,0)--(0,3)--(4,3);

\draw[blue,very thick] (0,6)--(0,12)--(4,12)--(4,6);
\draw[blue,very thick] (0,8)--(4,8);
\draw[blue,very thick] (4,9)--(7,9)--(7,0)--(4,0);
\draw[blue,very thick] (4,3)--(7,3);
\draw[blue,very thick](7,6)--(4,6);
\draw[blue] (0,4)--(4,4);
\draw (2,0) node[below] {$b$};
\draw (5.5,-0.25) node[below] {$a$};
\end{tikzpicture}}\)
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: Niepokonana »

Dziękuję Elayne, wiedziałam, że to coś z wzorami skróconego mnożenia, a nie jakimiś globalnymi rzeczami. Globalne rzeczy to tylko na maturze rozszerzonej.

Muszę powiedzieć, że ten poziom matury mnie zaskoczył, bo z tego, co już miałam (2. klasa liceum, dopiero zaczynamy) to umiałam wszystko, poza zadaniem 15. A co do tych, których nie umiałam, to po prostu nie znam wzorów, ale wydają się łatwe.

Nie ma to jak zadanie z logarytmu, które nie wymaga myślenia, bo trzeba tylko wiedzieć, co to jest logarytm.
Btw, kto z Was umie rozwiązać zadanie 15.? Wszyscy?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: Jan Kraszewski »

Niepokonana pisze: 31 paź 2019, o 20:00Btw, kto z Was umie rozwiązać zadanie 15.? Wszyscy?
Nie przyłożyłaś się... Przecież przed chwilą trenowałaś jednokładność.

JK
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: Niepokonana »

Właśnie dlatego ja się do siebie nie przyznaję. A bo ten punkt \(\displaystyle{ K}\) to jest środek jednokładności co nie? Ale co robi jednokładność na maturze podstawowej? U mnie jest to oznaczone jak to temat rozszerzony.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: Jan Kraszewski »

A z tą jednokładnością to tylko dlatego, że właśnie o tym ostatnio pisałaś.

Tu wystarczy tw. Talesa.

JK
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: Niepokonana »

A jak twierdzenie Talesa to wiem co to jest.
Zgadzam się z opinią, że matura podstawowa z języka polskiego powinna być na takim samym poziomie jak matura podstawowa z matematyki.
ODPOWIEDZ