Zbadać zbieżność szeregu:

[inkk1]

\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{ 2^{n} + 3 ^{n}}{ 3^{n}+ 5^{n} } }\)

próbowałam robić kryterium d'Alemberta, ale nic z tego nie wyszło. Proszę o pomoc.

[a4karo]

To spróbuj z Cauchyego.

[inkk1]

To spróbuj z Cauchyego.

Aha. Dziękuję za cenną wskazówkę.

[Jan Kraszewski]

Do tego tw. o trzech ciągach.

JK

[Premislav]

Najszybciej byłoby zastosować kryterium ilorazowe (zwane też asymptotycznym) z wyrazami szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n}}\), który jest zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie mniejszym co do wartości bezwzględnej od \(\displaystyle{ 1}\). Zresztą dowód kryterium Cauchy'ego polega właśnie na porównaniu (choć zwykle szacuje się z góry od pewnego miejsca, a nie bada iloraz wyrazów) z szeregiem geometrycznym…

[inkk1]

Wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\) na mocy kryterium Cauchy'ego, szereg zbieżny. Poprawnie?

[Premislav]

Tak, dobrze.

[yeezfgh]

Witam. To mój pierwszy post na forum. Zerknąłem na ten przykład i mam lekki problem. W pierwszej części przykładu skraca nam się \(\displaystyle{ n}\) i wychodzi \(\displaystyle{ \frac{3}{5} }\), a jak wykonać dalszą część przykładu, co nam się skróci i dlaczego wychodzi \(\displaystyle{ 1}\)?

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ \left( \frac{3}{5}\right) ^{n}} \cdot \sqrt[n]{ \frac{ \left(\frac{2}{3}\right) ^{n} +1 }{ \left( \frac{3}{5}\right) ^{n} +1 } } }\)

[Jan Kraszewski]

W dalszej części nic się nie skróci. Możesz skorzystać z tw. o trzech ciągach, możesz skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty } a^n=1}\) dla \(\displaystyle{ 0<a<1.}\)

JK

[a4karo]

Albo z tego, że gdy \(a_n\to 1\) oraz \(b_n\to 0\) to \(a_n^{b_n}\to 1\)