Wnętrza i domknięcia zbiorów rozłącznych

[malwinka1058]

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem otwartym oraz \(\displaystyle{ A \cap B=\emptyset}\), to \(\displaystyle{ \cl(A) \cap \Int(\cl(B))=\emptyset.}\)

[Jan Kraszewski]

Spróbuj nie wprost.

JK

[Premislav]

Może przyda się taka charakteryzacja domknięcia:
\(\displaystyle{ x\in \cl (A)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór otwarty, do którego należy \(\displaystyle{ x}\), ma niepusty przekrój z \(\displaystyle{ A}\).
Przypuśćmy więc, że \(\displaystyle{ x\in \cl(A)\cap \Int(\cl(B))}\). Oczywiście \(\displaystyle{ \Int(\cl (B))}\) jest zbiorem otwartym, więc skoro \(\displaystyle{ x\in\cl(A)\wedge x\in \Int(\cl B)}\), to \(\displaystyle{ A\cap \Int(\cl(B))\neq \varnothing}\). Niech zatem \(\displaystyle{ y\in A\cap \Int (\cl(B))}\).
W szczególności \(\displaystyle{ y\in \cl(B)}\), wszak oczywiście \(\displaystyle{ \Int(\cl(B))\subset \cl (B)}\), a zatem dla dowolnego zbioru otwartego \(\displaystyle{ Y}\), do którego należy \(\displaystyle{ y}\) mamy \(\displaystyle{ Y\cap B\neq \varnothing}\). Ale \(\displaystyle{ A}\) jest z założenia otwarty i \(\displaystyle{ y\in A}\), więc \(\displaystyle{ A\cap B\neq \varnothing}\).

[timon92]

skoro \(A\) jest otwarty i rozłączny z \(B\), to \(A\) jest rozłączny z \(\mathrm{cl}(B)\)

w takim razie również \(\mathrm{Int}(\mathrm{cl}(B))\) jest rozłączny z \(A\), bo \(\mathrm{Int}(\mathrm{cl}(B))\subset \mathrm{cl}(B)\) oraz \(\mathrm{cl}(B)\) jest rozłączny z \(A\)

w takim razie zbiór \(\mathrm{Int}(\mathrm{cl}(B))\) jest zbiorem otwartym rozłącznym z \(A\), więc jest rozłączny także z \(\mathrm{cl}(A)\)

[Jan Kraszewski]

skoro \(A\) jest otwarty i rozłączny z \(B\), to \(A\) jest rozłączny z \(\mathrm{cl}(B)\)

To by chyba jednak wymagało krótkiego uzasadnienia.

JK

[timon92]

przecież to wynika wprost z definicji domknięcia...

a jak bardzo wprost z definicji to zależy od definicji domknięcia, którą posługuje się autorka tematu

[malwinka1058]

skoro \(A\) jest otwarty i rozłączny z \(B\), to \(A\) jest rozłączny z \(\mathrm{cl}(B)\)

Można uzasadnić to w jakiś prosty sposób, wykorzystując głównie rachunek zbiorów?

[Jan Kraszewski]

przecież to wynika wprost z definicji domknięcia...

Ja to wiem, Ty to wiesz, ale myślę, że malwinka1058 powinna to uzasadnić, bo to jednak wniosek z definicji. Samo zadanie jest bardzo elementarne, więc uzasadnienie nie powinno powoływać się na oczywistość innych elementarnych faktów (no chyba, że zostały wcześniej uzasadnione).

Można uzasadnić to w jakiś prosty sposób, wykorzystując głównie rachunek zbiorów?

Głównie to musisz wykorzystać definicję domknięcia.

JK

[malwinka1058]

Domknięcie danego zbioru to iloczyn wszystkich zbiorów domkniętych zawierających ten zbiór, ale jak na podstawie tego uzasadnić tamtą zależność?

[Dasio11]

Skoro \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty i rozłączny z \(\displaystyle{ B}\), to \(\displaystyle{ B \subseteq A^c}\) i \(\displaystyle{ A^c}\) jest domknięty, zatem \(\displaystyle{ \mathrm{cl}(B) \subseteq A^c}\), czyli \(\displaystyle{ A}\) jest rozłączny z \(\displaystyle{ \mathrm{cl}(B)}\).