W jakich punktach gradient jest prostopadly do OZ

[tomek11]

W jakich punktach przestrzeni gradient pola \(\displaystyle{ f(x,y,z)= x^{3} +y^{3} +z ^{3} -3xyz}\) jest wektorem prostopadłym do osi OZ.

gradient wyglada tak
\(\displaystyle{ grad f=[3x^{2}-3yz, 3y^{2}-3xz, 3z^{2}-3xy]}\)
a wektor prostopadły \(\displaystyle{ \vec{v} =[0,0,c]}\) gdzie c jest dowolna liczba
wiec mamy uklad rownan\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x^{2}-3yz=0 \\ 3y^{2}-3xz=0 \\3z^{2}-3xy =c\end{cases}}\)
i teraz moje pytanie- jak to cos rozwiazac? zeby wyznaczyc te punkty

[luka52]

Ten układ równań może nam jedynie powiedzieć, gdzie te wektory są równoległe. Imho lepiej jest skorzystać z warunku prostopadłości wektorów. Tj. dwa wektory są prostopadłe, gdy ich iloczyn skalarny jest równy \(\displaystyle{ 0}\). No a \(\displaystyle{ \nabla f \cdot \vec{v} = 0 \iff (3z^2 - 3xy) c = 0}\). Lub to samo na chłopski rozum - kiedy wektor \(\displaystyle{ \nabla f}\) nie ma trzeciej składowej .