suma n-czynników
-
- Użytkownik
- Posty: 138
- Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Brak
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 4 razy
suma n-czynników
Niech \(\displaystyle{ x_1, x_2, \cdots , x_n>0}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{1 \leq i,j \leq n} |1-x_ix_j|=\sum_{1 \leq i,j \leq n} |x_i-x_j|.}\) Pokaż że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n x_i = n.}\)
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: suma n-czynników
Chyba dlatego, że za mało spałem. Ubzdurałem sobie, ze ta końcowa suma w twierdzeniu jest równa \(\displaystyle{ 1}\) i dlatego.
Przepraszam wszystkich, których mogłem wprowadzić w błąd. I co gorsze, chyba nie umiem pomóc
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: suma n-czynników
Chciałem bardziej pokazać pomysł z bardzo małą ilością fajerwerków, i nie będzie to rozwiązanie tylko pewna sugestia i jakiś tam pomysł...
Ponieważ nie chce mi się działać na n niewiadomych, wezmę tylko dwie niewiadome...x,y
Stwórzmy funkcję taką jak w zadaniu:
\(\displaystyle{ f=2\left( |1-xy|\right) +|1-x^2|+|1-y^2|-2|x-y|}\)
zakładamy, że.: \(\displaystyle{ x,y \neq 1 \wedge xy \neq 1}\)
Posłużmy się rachunkiem różniczkowym, zastosuję wzór:
\(\displaystyle{ \left( |f|\right)'=f' \cdot \frac{f}{|f|} }\)
\(\displaystyle{ f'_{x}=-2y \frac{1-xy}{|1-xy|} -2x \frac{1-x^2}{|1-x^2|}-2 \frac{x-y}{|x-y|}}\)
\(\displaystyle{ f'_{y}=-2x \frac{1-xy}{|1-xy|} -2y \frac{1-y^2}{|1-y^2|}+2 \frac{x-y}{|x-y|}}\)
Można zapisać to krócej:
\(\displaystyle{ yi_{1}+xi_{2}+i_{3}=0}\)
\(\displaystyle{ yi_{4}+xi_{1}-i_{3}=0}\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ i_{1}=\frac{1-xy}{|1-xy|} , i_{2}=\frac{1-x^2}{|1-x^2|} , i_{3}=\frac{x-y}{|x-y|} , i_{4}=\frac{1-y^2}{|1-y^2|}= \pm 1}\)
z tego liczmy x,y
\(\displaystyle{ x= \frac{i_{1}i_{3}+i_{3}i_{4}}{1-i_{2}} }\)
\(\displaystyle{ y=-x \frac{i_{2}}{i_{1}}- \frac{i_{3}}{i_{1}} }\)
jak widać:
\(\displaystyle{ i_{2}=-1}\)
\(\displaystyle{ i_{1}=i_{4}=-1 \wedge i_{3}=-1 \vee i_{1}=i_{4}=1 \wedge i_{3}=1}\)
Oczywiście sprzeczność bo wtedy.: \(\displaystyle{ x=1 , y=-2 \vee 0}\)
Układ równań nie ma rozwiązania więc brak extremum..
teraz załóżmy, że:
\(\displaystyle{ xy=1 , x \neq 1}\)
funkcja przyjmie postać:
\(\displaystyle{ f=|1-x^2|+|1- \frac{1}{x^2} |-2|x- \frac{1}{x}| }\)
\(\displaystyle{ f'(x)=-2x \frac{1-x^2}{|1-x^2|} +2 \frac{1}{x^3} \frac{x^2-1}{|x^2-1|} - \frac{2}{x^2}\frac{x^2-1}{|x^2-1|} }\)
lub:
\(\displaystyle{ f'(x)=-2xi- \frac{2}{x^3}i+ \frac{2}{x^2}i }\)
Badanie tego prowadzi do funkcji:
\(\displaystyle{ x^4-x+1}\)
Lecz funkcja ta dla\(\displaystyle{ x>0}\) leży ponad osią OX
Zostaje nam ostatni przypadek, gdzie:
\(\displaystyle{ x=1}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ f=2|1-y|+|1-y||1+y|-2|1-y|}\)
prościej:
\(\displaystyle{ f=|1-y^2|}\)
co minimum jest dla:
\(\displaystyle{ x=1, y=1}\)
i wtedy\(\displaystyle{ 1+1=2}\) co daje tezę...
Podobnie będzie pewnie się działo dla większej ilości zmiennych...
Ponieważ nie chce mi się działać na n niewiadomych, wezmę tylko dwie niewiadome...x,y
Stwórzmy funkcję taką jak w zadaniu:
\(\displaystyle{ f=2\left( |1-xy|\right) +|1-x^2|+|1-y^2|-2|x-y|}\)
zakładamy, że.: \(\displaystyle{ x,y \neq 1 \wedge xy \neq 1}\)
Posłużmy się rachunkiem różniczkowym, zastosuję wzór:
\(\displaystyle{ \left( |f|\right)'=f' \cdot \frac{f}{|f|} }\)
\(\displaystyle{ f'_{x}=-2y \frac{1-xy}{|1-xy|} -2x \frac{1-x^2}{|1-x^2|}-2 \frac{x-y}{|x-y|}}\)
\(\displaystyle{ f'_{y}=-2x \frac{1-xy}{|1-xy|} -2y \frac{1-y^2}{|1-y^2|}+2 \frac{x-y}{|x-y|}}\)
Można zapisać to krócej:
\(\displaystyle{ yi_{1}+xi_{2}+i_{3}=0}\)
\(\displaystyle{ yi_{4}+xi_{1}-i_{3}=0}\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ i_{1}=\frac{1-xy}{|1-xy|} , i_{2}=\frac{1-x^2}{|1-x^2|} , i_{3}=\frac{x-y}{|x-y|} , i_{4}=\frac{1-y^2}{|1-y^2|}= \pm 1}\)
z tego liczmy x,y
\(\displaystyle{ x= \frac{i_{1}i_{3}+i_{3}i_{4}}{1-i_{2}} }\)
\(\displaystyle{ y=-x \frac{i_{2}}{i_{1}}- \frac{i_{3}}{i_{1}} }\)
jak widać:
\(\displaystyle{ i_{2}=-1}\)
\(\displaystyle{ i_{1}=i_{4}=-1 \wedge i_{3}=-1 \vee i_{1}=i_{4}=1 \wedge i_{3}=1}\)
Oczywiście sprzeczność bo wtedy.: \(\displaystyle{ x=1 , y=-2 \vee 0}\)
Układ równań nie ma rozwiązania więc brak extremum..
teraz załóżmy, że:
\(\displaystyle{ xy=1 , x \neq 1}\)
funkcja przyjmie postać:
\(\displaystyle{ f=|1-x^2|+|1- \frac{1}{x^2} |-2|x- \frac{1}{x}| }\)
\(\displaystyle{ f'(x)=-2x \frac{1-x^2}{|1-x^2|} +2 \frac{1}{x^3} \frac{x^2-1}{|x^2-1|} - \frac{2}{x^2}\frac{x^2-1}{|x^2-1|} }\)
lub:
\(\displaystyle{ f'(x)=-2xi- \frac{2}{x^3}i+ \frac{2}{x^2}i }\)
Badanie tego prowadzi do funkcji:
\(\displaystyle{ x^4-x+1}\)
Lecz funkcja ta dla\(\displaystyle{ x>0}\) leży ponad osią OX
Zostaje nam ostatni przypadek, gdzie:
\(\displaystyle{ x=1}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ f=2|1-y|+|1-y||1+y|-2|1-y|}\)
prościej:
\(\displaystyle{ f=|1-y^2|}\)
co minimum jest dla:
\(\displaystyle{ x=1, y=1}\)
i wtedy\(\displaystyle{ 1+1=2}\) co daje tezę...
Podobnie będzie pewnie się działo dla większej ilości zmiennych...
Ostatnio zmieniony 17 paź 2019, o 21:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: suma n-czynników
Tak ale ja różniczkuję w punktach tam gdzie funkcja jest różniczkowalna co zakładam , pomijam wyraźnie punkty w których jest nieróżniczkowalna, czyli:
tam gdzie.: \(\displaystyle{ x=1,y=1, xy=1}\)...
Funkcja nie jest wszędzie nieróżniczkowalna , nie jest żadną fraktalną funkcją...
Ja najpierw szukam extremum tam gdzie funkcja jest różniczkowalna...
tam gdzie.: \(\displaystyle{ x=1,y=1, xy=1}\)...
Funkcja nie jest wszędzie nieróżniczkowalna , nie jest żadną fraktalną funkcją...
Ja najpierw szukam extremum tam gdzie funkcja jest różniczkowalna...
-
- Użytkownik
- Posty: 22171
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: suma n-czynników
A jaki sens ma szukanie ekstremum tej funkcji?
PIszesz wielokrotnie "co daje tezę" ale nie piszesz jaką tezę chcesz udowodnić.
"Oczywiście sprzeczność" - ale z czym? itd itp.
JK nie raz pisał na tym forum, że rozwiązanie zadania nie polega na napisaniu ściany znaczków.
Gdybyś zechciał opisać swój pomysł, to wszystkim by się to lepiej czytało.
PIszesz wielokrotnie "co daje tezę" ale nie piszesz jaką tezę chcesz udowodnić.
"Oczywiście sprzeczność" - ale z czym? itd itp.
JK nie raz pisał na tym forum, że rozwiązanie zadania nie polega na napisaniu ściany znaczków.
Gdybyś zechciał opisać swój pomysł, to wszystkim by się to lepiej czytało.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: suma n-czynników
Szczerze Ci powiem, że ten pomysł też mi się nie podoba jest mało efektywny i niewidowiskowy, ale rzucę jaką miałem idee i co mi przyświecało a mianowicie:
Najpierw badałem minimum funkcji w punktach różniczkowalnych a skoro tam minimum nie znalazłem szukałem ręcznie w punktach nieróżniczkowalności ,
i tam znajdowałem w jedynkach co dawało tezę, ale pomysł też nie uważam za świetny...
Najpierw badałem minimum funkcji w punktach różniczkowalnych a skoro tam minimum nie znalazłem szukałem ręcznie w punktach nieróżniczkowalności ,
i tam znajdowałem w jedynkach co dawało tezę, ale pomysł też nie uważam za świetny...
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: suma n-czynników
Generalnie chodziło mi o to , że funkcja ta jest zawsze większa od zera z wyjątkiem:
\(\displaystyle{ x_{i}=1}\) minimum tej funkcji pokrywa się z jej miejscem zerowym...
Dodano po 20 minutach 37 sekundach:
Idea moja polegała na tym żeby wykazać, że miejsce zerowe pokrywa się z minimum funkcji...
\(\displaystyle{ x_{i}=1}\) minimum tej funkcji pokrywa się z jej miejscem zerowym...
Dodano po 20 minutach 37 sekundach:
Idea moja polegała na tym żeby wykazać, że miejsce zerowe pokrywa się z minimum funkcji...