Udowodnij indukcyjnie poniższą równość.

[Marcinek665]

Mam tu jedno zadanie z indukcji matematycznej.

Udowodnić, korzystając z indukcji matematycznej poniższe równanie:

\(\displaystyle{ \frac{1}{1*3} + \frac{1}{3*5} + \frac{1}{5*7} + ... + \frac{1}{ \left( 2n - 1\right) \left( 2n + 1\right) } = \frac{n}{2n + 1}}\) Dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\)

No więc sprawdzam równanie dla \(\displaystyle{ n = 1}\)

\(\displaystyle{ L = \frac{1}{1*3} = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P = \frac{n}{2n+1} \Rightarrow \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ L=P}\)

Zakładam, że:

\(\displaystyle{ \frac{1}{1*3} + \frac{1}{3*5} + \frac{1}{5*7} + ... + \frac{1}{ \left( 2n - 1\right) \left( 2n + 1\right) } + \frac{1}{ \left( 2n + 1 \right) \left( 2n + 3 \right) } = \frac{n}{2n + 3 }}\)

Zauważam, że lewą stronę równania mogę zapisać jako:

\(\displaystyle{ \frac{n}{2n + 1} + \frac{1}{ \left( 2n + 1 \right) \left( 2n + 3 \right) } = \frac{n}{2n + 3 }}\)

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i dodaniu wychodzi:

\(\displaystyle{ \frac{n \left( 2n + 3\right) + 1}{ \left( 2n + 1 \right) \left( 2n + 3 \right) } = \frac{n}{2n + 3}}\)

I w tym momencie nie wiem już, co zrobić dalej. Wymnożenie lewej strony równości daje jedynie jeszcze bardziej kosmiczny ułamek, więc chyba nie tędy droga, a na inny pomysł nie umiem wpaść.
Proszę o pomoc.

Pozdrawiam.

[exitlessmind]

dobrze liczysz, tylko ze po prawej stronie powinno byc \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2n+3}}\)
jesli teraz wymnozysz lewa strone to bedziesz mial w liczniku i mianowniku trojmiany kwadratowe, ktore po przedstawieniu w postaci iloczynowej i skroceniu powinny sie zwinac do prawej

[Marcinek665]

No tak, pominąłem \(\displaystyle{ n + 1}\) przy przepisywaniu. Problem w tym, że to raczej niewiele zmienia. Ostatecznie dostaję równanie postaci

\(\displaystyle{ \frac{2n^{2} + 3n + 1}{4n^{2} + 8n + 3} = \frac{n + 1}{2n + 3}}\)

I dalej nie mam pomysłu, co z tym zrobić

[exitlessmind]

\(\displaystyle{ L=\frac{2(n+\frac{1}{2})(n+1) }{4(n+\frac{1}{2})(n+\frac{3}{2})}=\frac{n+1}{2n+3}=P}\)