Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru
Proszę o sprawdzenie dwóch zadań oraz wskazówkę do trzeciego:
1. Niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) spełnia warunek Lipschitza ze stałą \(\displaystyle{ L>0}\). Pokazać, że obraz zbioru miary zero jest obrazem miary zero.
Niech \(\displaystyle{ A\subset \mathbb{R}}\) będzie zbiorem miary Lebesgue'a zero. Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Istnieje przeliczalna rodzina przedziałów \(\displaystyle{ \left\{I_k\right\}_{k=1}^{\infty}}\) taka, że \(\displaystyle{ \bigcup_{k\in \mathbb{N}} I_k \supset A}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{k\in\mathbb{N}}\mbox{Vol}(I_k)<\frac{\varepsilon}{L}}\). Oczywiście \(\displaystyle{ f\left(\bigcup_{k\in \mathbb{N}} I_k\right) \supset f(A)}\), a ponadto z własności obrazu \(\displaystyle{ f\left(\bigcup_{k\in \mathbb{N}} I_k\right)=\bigcup_{k\in\mathbb{N}} f(I_k)}\). Funkcja \(\displaystyle{ f}\) w oczywisty sposób jest ciągła, zatem obraz przedziału zawsze jest przedziałem. A to oznacza, że rodzina \(\displaystyle{ \left\{f(I_k)\right\}_{k=1}^{\infty}}\) jest przeliczalną rodziną przedziałów pokrywającą zbiór \(\displaystyle{ f(A)}\). Teraz:
\(\displaystyle{ \sum_{k\in\mathbb{N}} \mbox{Vol}\left(f(I_k)\right) \leq \sum_{k\in\mathbb{N}} L\cdot\mbox{Vol}(I_k)=L\cdot \frac{\varepsilon}{L}=\varepsilon}\).
Zatem rzeczywiście miara zbioru \(\displaystyle{ f(A)}\) jest równa zero.
2. Niech \(\displaystyle{ f:(0,1)\rightarrow \mathbb{R}}\) będzie funkcją ciągłą. Pokazać, że miara wykresu tej funkcji wynosi zero.
Ustalmy przedział \(\displaystyle{ [a,b]\subset (0,1)}\). Pokażemy, że miara wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\) obciętej do przedziału \(\displaystyle{ [a,b]}\) wynosi zero. Przedział domknięty na prostej jest zbiorem zwartym, zatem funkcja \(\displaystyle{ f}\) jako ciągła, jest na nim jednostajnie ciągła. Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Wobec jednostajnej ciągłości istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\) taka, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in[a,b]}\) zachodzi \(\displaystyle{ |f(x)-f(y)|\leq\varepsilon}\), o ile tylko \(\displaystyle{ |x-y|\leq\delta}\). Niech teraz \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) będzie takie, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n}<\delta}\). Rozważmy rodzinę prostokątów \(\displaystyle{ \left\{P_k\right\}}\) taką, że \(\displaystyle{ P_k=\left[a+(b-a)\frac{k-1}{n},a+(b-a)\frac{k}{n}\right] \times \left[f\left(a+(b-a)\frac{k}{n}\right)-\varepsilon,f\left(a+(b-a)\frac{k}{n}\right)+\varepsilon\right]}\) dla \(\displaystyle{ k=1,\dots,n}\). Jeżeli przez \(\displaystyle{ G}\) oznaczymy wykres funkcji \(\displaystyle{ f}\) na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\), to \(\displaystyle{ G\subset \bigcup_{k=1}^n P_k}\). Zatem:
\(\displaystyle{ 0\leq l_1(G)=l_1\left(\bigcup_{k=1}^n P_k\right)\leq \sum_{k=1}^n l_1\left(P_k\right)=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\cdot 2\varepsilon=2\varepsilon.}\)
Przechodząc teraz z \(\displaystyle{ \varepsilon}\) do zera otrzymamy, że \(\displaystyle{ l_1(G)=0}\).
Pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ (0,1)=\bigcup_{n=1}^{\infty} \left[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right]}\) i że wobec powyższego wykres funkcji na każdym przedziale \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right]}\) ma miarę zero, z czego wynika już teza.
3. Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m}\) będzie funkcją ciągłą i niech obraz każdego zbioru miary zero będzie zbiorem miary zero. Pokazać, że obraz zbioru mierzalnego jest zbiorem mierzalnym.
Tutaj próbowałem z kilku różnych warunków mierzalności skorzystać i z dwóch równoważnych definicji ciągłości, ale niestety bez skutku
1. Niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) spełnia warunek Lipschitza ze stałą \(\displaystyle{ L>0}\). Pokazać, że obraz zbioru miary zero jest obrazem miary zero.
Niech \(\displaystyle{ A\subset \mathbb{R}}\) będzie zbiorem miary Lebesgue'a zero. Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Istnieje przeliczalna rodzina przedziałów \(\displaystyle{ \left\{I_k\right\}_{k=1}^{\infty}}\) taka, że \(\displaystyle{ \bigcup_{k\in \mathbb{N}} I_k \supset A}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{k\in\mathbb{N}}\mbox{Vol}(I_k)<\frac{\varepsilon}{L}}\). Oczywiście \(\displaystyle{ f\left(\bigcup_{k\in \mathbb{N}} I_k\right) \supset f(A)}\), a ponadto z własności obrazu \(\displaystyle{ f\left(\bigcup_{k\in \mathbb{N}} I_k\right)=\bigcup_{k\in\mathbb{N}} f(I_k)}\). Funkcja \(\displaystyle{ f}\) w oczywisty sposób jest ciągła, zatem obraz przedziału zawsze jest przedziałem. A to oznacza, że rodzina \(\displaystyle{ \left\{f(I_k)\right\}_{k=1}^{\infty}}\) jest przeliczalną rodziną przedziałów pokrywającą zbiór \(\displaystyle{ f(A)}\). Teraz:
\(\displaystyle{ \sum_{k\in\mathbb{N}} \mbox{Vol}\left(f(I_k)\right) \leq \sum_{k\in\mathbb{N}} L\cdot\mbox{Vol}(I_k)=L\cdot \frac{\varepsilon}{L}=\varepsilon}\).
Zatem rzeczywiście miara zbioru \(\displaystyle{ f(A)}\) jest równa zero.
2. Niech \(\displaystyle{ f:(0,1)\rightarrow \mathbb{R}}\) będzie funkcją ciągłą. Pokazać, że miara wykresu tej funkcji wynosi zero.
Ustalmy przedział \(\displaystyle{ [a,b]\subset (0,1)}\). Pokażemy, że miara wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\) obciętej do przedziału \(\displaystyle{ [a,b]}\) wynosi zero. Przedział domknięty na prostej jest zbiorem zwartym, zatem funkcja \(\displaystyle{ f}\) jako ciągła, jest na nim jednostajnie ciągła. Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Wobec jednostajnej ciągłości istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\) taka, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in[a,b]}\) zachodzi \(\displaystyle{ |f(x)-f(y)|\leq\varepsilon}\), o ile tylko \(\displaystyle{ |x-y|\leq\delta}\). Niech teraz \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) będzie takie, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n}<\delta}\). Rozważmy rodzinę prostokątów \(\displaystyle{ \left\{P_k\right\}}\) taką, że \(\displaystyle{ P_k=\left[a+(b-a)\frac{k-1}{n},a+(b-a)\frac{k}{n}\right] \times \left[f\left(a+(b-a)\frac{k}{n}\right)-\varepsilon,f\left(a+(b-a)\frac{k}{n}\right)+\varepsilon\right]}\) dla \(\displaystyle{ k=1,\dots,n}\). Jeżeli przez \(\displaystyle{ G}\) oznaczymy wykres funkcji \(\displaystyle{ f}\) na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\), to \(\displaystyle{ G\subset \bigcup_{k=1}^n P_k}\). Zatem:
\(\displaystyle{ 0\leq l_1(G)=l_1\left(\bigcup_{k=1}^n P_k\right)\leq \sum_{k=1}^n l_1\left(P_k\right)=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\cdot 2\varepsilon=2\varepsilon.}\)
Przechodząc teraz z \(\displaystyle{ \varepsilon}\) do zera otrzymamy, że \(\displaystyle{ l_1(G)=0}\).
Pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ (0,1)=\bigcup_{n=1}^{\infty} \left[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right]}\) i że wobec powyższego wykres funkcji na każdym przedziale \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right]}\) ma miarę zero, z czego wynika już teza.
3. Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m}\) będzie funkcją ciągłą i niech obraz każdego zbioru miary zero będzie zbiorem miary zero. Pokazać, że obraz zbioru mierzalnego jest zbiorem mierzalnym.
Tutaj próbowałem z kilku różnych warunków mierzalności skorzystać i z dwóch równoważnych definicji ciągłości, ale niestety bez skutku
- Slup
- Użytkownik
- Posty: 795
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Re: Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru
Odnośnie zad. 3. Pokaż. że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A = B\cup Z}\), gdzie \(\displaystyle{ B}\) jest przeliczalną sumą zbiorów zwartych i \(\displaystyle{ Z}\) jest zbiorem miary Lebesgue'a zero. Co wiesz o obrazach zbiorów zwartych przy odwzorowaniach ciągłych?
Pozostałe zadania wyglądają na zrobione dobrze, ale nie przyglądałem się im bardzo dokładnie.
Pozostałe zadania wyglądają na zrobione dobrze, ale nie przyglądałem się im bardzo dokładnie.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru
Dzięki za odpowiedź. Ze zwartością co prawda nie miałem bardzo do czynienia, bo dopiero zaczynam topologię (co najwyżej miałem do czynienia z banalnymi przypadkami w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\), gdzie zbiór zwarty jest domknięty i ograniczony). Ale poszukałem trochę w internecie i znalazłem, że obraz zbioru zwartego w odwzorowaniu ciągłym jest zwarty.
Myślę tak na szybko, że można to pokazać na przykład w taki sposób:
Niech \(\displaystyle{ A\subset \mathbb{R}^m}\) będzie zbiorem zwartym. Rozważmy dowolne pokrycie zbioru \(\displaystyle{ f(A)}\) zbiorami otwartymi należącymi do pewnej rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\). Wtedy \(\displaystyle{ \bigcup \mathcal{U}}\) jest zbiorem otwartym jako suma zbiorów otwartych, a dzięki ciągłości \(\displaystyle{ f}\) zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}\left(\bigcup \mathcal{U}\right)}\) jest zbiorem otwartym. Ponadto \(\displaystyle{ f^{-1}\left(\bigcup \mathcal{U}\right)=\left\{f^{-1}(U): U\in\mathcal{U}\right\}}\). Zauważmy, że zbiory z rodziny \(\displaystyle{ \left\{f^{-1}(U): U\in\mathcal{U}\right\}}\) są zbiorami otwartymi pokrywającymi \(\displaystyle{ A}\). Wobec zwartości \(\displaystyle{ A}\) istnieją \(\displaystyle{ U_1,\dots,U_n\in \mathcal{U}}\) takie że \(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^n f^{-1}(U_k)\supset A}\). Czyli \(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^n U_k \supset \bigcup_{k=1}^n f(f^{-1}(U_k)) \supset f(A)}\). Zatem z dowolnego pokrycia zbioru \(\displaystyle{ f(A)}\) zbiorami otwartymi można wydobyć podpokrycie skończone - czyli jest to zbiór zwarty.
Mam nadzieję, że się nigdzie tutaj nie walnąłem, bo akurat pisałem to bardzo na szybko i różnie mogło być. Wieczorem spróbuję udowodnić ten fakt, o którym mówisz i pokażę co wyszło. Łącząc go z tym co wyżej wskazałem, mielibyśmy już tezę praktycznie od razu. Jednak nie wiem jak mi to wyjdzie, bo ze zwartością jeszcze się nie zaprzyjaźniłem - czy widzisz może jeszcze inne podejście?
Jeszcze do zadania 2: literówka się wkradła i powinno w jednym miejscu być \(\displaystyle{ l_1(G)\leq l_1\left(\bigcup_{k=1}^n P_k\right) }\), a zauważyłem, że przez pomyłkę napisałem znak równości.
Myślę tak na szybko, że można to pokazać na przykład w taki sposób:
Niech \(\displaystyle{ A\subset \mathbb{R}^m}\) będzie zbiorem zwartym. Rozważmy dowolne pokrycie zbioru \(\displaystyle{ f(A)}\) zbiorami otwartymi należącymi do pewnej rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\). Wtedy \(\displaystyle{ \bigcup \mathcal{U}}\) jest zbiorem otwartym jako suma zbiorów otwartych, a dzięki ciągłości \(\displaystyle{ f}\) zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}\left(\bigcup \mathcal{U}\right)}\) jest zbiorem otwartym. Ponadto \(\displaystyle{ f^{-1}\left(\bigcup \mathcal{U}\right)=\left\{f^{-1}(U): U\in\mathcal{U}\right\}}\). Zauważmy, że zbiory z rodziny \(\displaystyle{ \left\{f^{-1}(U): U\in\mathcal{U}\right\}}\) są zbiorami otwartymi pokrywającymi \(\displaystyle{ A}\). Wobec zwartości \(\displaystyle{ A}\) istnieją \(\displaystyle{ U_1,\dots,U_n\in \mathcal{U}}\) takie że \(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^n f^{-1}(U_k)\supset A}\). Czyli \(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^n U_k \supset \bigcup_{k=1}^n f(f^{-1}(U_k)) \supset f(A)}\). Zatem z dowolnego pokrycia zbioru \(\displaystyle{ f(A)}\) zbiorami otwartymi można wydobyć podpokrycie skończone - czyli jest to zbiór zwarty.
Mam nadzieję, że się nigdzie tutaj nie walnąłem, bo akurat pisałem to bardzo na szybko i różnie mogło być. Wieczorem spróbuję udowodnić ten fakt, o którym mówisz i pokażę co wyszło. Łącząc go z tym co wyżej wskazałem, mielibyśmy już tezę praktycznie od razu. Jednak nie wiem jak mi to wyjdzie, bo ze zwartością jeszcze się nie zaprzyjaźniłem - czy widzisz może jeszcze inne podejście?
Jeszcze do zadania 2: literówka się wkradła i powinno w jednym miejscu być \(\displaystyle{ l_1(G)\leq l_1\left(\bigcup_{k=1}^n P_k\right) }\), a zauważyłem, że przez pomyłkę napisałem znak równości.
- Slup
- Użytkownik
- Posty: 795
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Re: Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru
Twój dowód jest poprawny i w dodatku bez zmian przenosi się na ogólne przestrzenie topologiczne.
W dowodzie tej charakteryzacji zbioru mierzalnego w sensie Lebesgue'a możesz użyć faktu, że w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.
W dowodzie tej charakteryzacji zbioru mierzalnego w sensie Lebesgue'a możesz użyć faktu, że w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru
No dobrze, spróbujmy zatem. Implikacja w jedną stronę wygląda dość prosto:
Załóżmy, że dla pewnego zbioru \(\displaystyle{ A\subset \mathbb{R}^n}\) zachodzi \(\displaystyle{ A=B\cup Z}\), gdzie \(\displaystyle{ B}\) jest przeliczalną sumą zbiorów zwartych, a \(\displaystyle{ Z}\) zbiorem miary Lebesgue'a zero. Zbiór zwarty jest w szczególności domknięty, a zatem mierzalny. Suma zbiorów mierzalnych jest zbiorem mierzalnym, zatem \(\displaystyle{ B}\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a. No i z tego samego powodu zbiór \(\displaystyle{ B\cup Z=A}\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a. Tutaj poszło dość prosto.
Spróbujmy w drugą stronę. Wiem, że jednym z równoważnych warunków mierzalności zbioru \(\displaystyle{ A \subset \mathbb{R}^n}\) jest istnienie zbioru \(\displaystyle{ F}\) typu \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\) (czyli takiego, który jest przeliczalną sumą zbiorów domkniętych) takiego, że \(\displaystyle{ A\supset F}\) oraz \(\displaystyle{ l_n^*(A\setminus F)=0}\) (tutaj \(\displaystyle{ l_n^*}\) to miara zewnętrzna).
Załóżmy, że \(\displaystyle{ A\subset\mathbb{R}^n}\) jest mierzalny. Wtedy istnieje zbiór \(\displaystyle{ F\subset A}\) taki, że \(\displaystyle{ F=\bigcup_{n=1}^{\infty} F_n}\) dla pewnych zbiorów domkniętych \(\displaystyle{ F_n}\), \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\), dla którego \(\displaystyle{ l_n^*(A\setminus F)=0}\). Zbiory domknięte są mierzalne, a suma zbiorów mierzalnych jest zbiorem mierzalnym, zatem \(\displaystyle{ F}\) jest mierzalny, a więc i \(\displaystyle{ A\setminus F}\) jest mierzalny. Zatem możemy zapisać, że \(\displaystyle{ A=A\setminus F \cup F}\), przy czym zbiór \(\displaystyle{ A\setminus F}\) jest miary Lebesgue'a zero, a zbiór \(\displaystyle{ F}\) jest przeliczalną sumą zbiorów domkniętych. Problem polega na tym, że właśnie sumą zbiorów domkniętych, a nie zwartych. Dobrze by było jeszcze mieć skądś ograniczoność. Gdyby \(\displaystyle{ A}\) był ograniczony, to również każdy \(\displaystyle{ F_n}\) byłby ograniczony, zatem także zwarty. Jak na to zaradzić?
Załóżmy, że dla pewnego zbioru \(\displaystyle{ A\subset \mathbb{R}^n}\) zachodzi \(\displaystyle{ A=B\cup Z}\), gdzie \(\displaystyle{ B}\) jest przeliczalną sumą zbiorów zwartych, a \(\displaystyle{ Z}\) zbiorem miary Lebesgue'a zero. Zbiór zwarty jest w szczególności domknięty, a zatem mierzalny. Suma zbiorów mierzalnych jest zbiorem mierzalnym, zatem \(\displaystyle{ B}\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a. No i z tego samego powodu zbiór \(\displaystyle{ B\cup Z=A}\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a. Tutaj poszło dość prosto.
Spróbujmy w drugą stronę. Wiem, że jednym z równoważnych warunków mierzalności zbioru \(\displaystyle{ A \subset \mathbb{R}^n}\) jest istnienie zbioru \(\displaystyle{ F}\) typu \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\) (czyli takiego, który jest przeliczalną sumą zbiorów domkniętych) takiego, że \(\displaystyle{ A\supset F}\) oraz \(\displaystyle{ l_n^*(A\setminus F)=0}\) (tutaj \(\displaystyle{ l_n^*}\) to miara zewnętrzna).
Załóżmy, że \(\displaystyle{ A\subset\mathbb{R}^n}\) jest mierzalny. Wtedy istnieje zbiór \(\displaystyle{ F\subset A}\) taki, że \(\displaystyle{ F=\bigcup_{n=1}^{\infty} F_n}\) dla pewnych zbiorów domkniętych \(\displaystyle{ F_n}\), \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\), dla którego \(\displaystyle{ l_n^*(A\setminus F)=0}\). Zbiory domknięte są mierzalne, a suma zbiorów mierzalnych jest zbiorem mierzalnym, zatem \(\displaystyle{ F}\) jest mierzalny, a więc i \(\displaystyle{ A\setminus F}\) jest mierzalny. Zatem możemy zapisać, że \(\displaystyle{ A=A\setminus F \cup F}\), przy czym zbiór \(\displaystyle{ A\setminus F}\) jest miary Lebesgue'a zero, a zbiór \(\displaystyle{ F}\) jest przeliczalną sumą zbiorów domkniętych. Problem polega na tym, że właśnie sumą zbiorów domkniętych, a nie zwartych. Dobrze by było jeszcze mieć skądś ograniczoność. Gdyby \(\displaystyle{ A}\) był ograniczony, to również każdy \(\displaystyle{ F_n}\) byłby ograniczony, zatem także zwarty. Jak na to zaradzić?
- Slup
- Użytkownik
- Posty: 795
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Re: Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru
Zastanów się, czy potrafisz zapisać \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) jako przeliczalną sumę zbiorów zwartych. Alternatywnie możesz też pokazać, że każdy zbiór mierzalny jest sumą przeliczalną zbiorów mierzalnych i ograniczonych.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru
Mamy \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n=\bigcup_{k=1}^{\infty} P_k}\), gdzie \(\displaystyle{ P_k=\prod_{m=1}^n [-k,k]}\). Czyli \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) jest przeliczalną sumą takiego wstępującego ciągu kostek. Te kostki oczywiście są zwarte. To może jakoś tak?
\(\displaystyle{ F=\bigcup_{k=1}^{\infty} F \cap P_k}\). Tak oto zapisaliśmy \(\displaystyle{ F}\) jako przeliczalną sumę zbiorów zwartych. Dobrze?
\(\displaystyle{ F=\bigcup_{k=1}^{\infty} F \cap P_k}\). Tak oto zapisaliśmy \(\displaystyle{ F}\) jako przeliczalną sumę zbiorów zwartych. Dobrze?
- Slup
- Użytkownik
- Posty: 795
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Re: Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru
Pierwsza część dobrze. Druga prawie, bo zbiory \(\displaystyle{ F\cap P_k}\) nie są zwarte, ale zbiory \(\displaystyle{ F_n\cap P_k}\) juz są (używam oznaczeń z Twoich wcześniejszych wpisów).
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru
No tak, w końcu \(\displaystyle{ F}\) w żadnym razie nie musi być domknięty. Więc ostatecznie \(\displaystyle{ F=\bigcup_{n=1}^{\infty} F_n=\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=1}^{\infty} F_n\cap P_k}\).