Hiperpłaszczyzny w R^n

[matmatmm]

Niech \(\displaystyle{ n\in\NN}\). Przyjmijmy następującą definicję:

Powiemy, że \(\displaystyle{ H}\) jest hiperpłaszczyzną \(\displaystyle{ k}\)-wymiarową w \(\displaystyle{ \RR^n}\), gdy istnieją \(\displaystyle{ a_0\in\RR^n}\) oraz liniowo niezależne wektory \(\displaystyle{ v_1,\ldots, v_k}\) takie, że \(\displaystyle{ H=a_0+\mathrm{lin}(v_1,\ldots,v_k)}\).

Zadanie 1. Udowodnić, że \(\displaystyle{ H\subset\RR^n}\) jest hiperpłaszczyzną \(\displaystyle{ k}\)-wymiarową wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją \(\displaystyle{ b\in\RR^{n-k}}\) oraz macierz \(\displaystyle{ A}\) pełnego rzędu o wymiarach \(\displaystyle{ (n-k)\times n}\) takie, że \(\displaystyle{ H=\{x: Ax=b\}}\).

Zadanie 2. Niech \(\displaystyle{ H\subset K\subset \RR^n}\), gdzie \(\displaystyle{ H,K}\) są hiperpłaszczyznami odpowiednio \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) wymiarowymi. Ponadto \(\displaystyle{ K=\{x:Ax=b\}}\) dla pewnej macierzy \(\displaystyle{ A}\) pełnego rzędu o wymiarach \(\displaystyle{ (n-l)\times n}\) oraz pewnego \(\displaystyle{ b\in \RR^{n-l}}\). Udowodnić, że macierz \(\displaystyle{ A}\) można uzupełnić do macierzy \(\displaystyle{ A'}\) pełnego rzędu o wymiarach \(\displaystyle{ (n-k)\times n}\), a \(\displaystyle{ b}\) do wektora \(\displaystyle{ b'\in\RR^{n-k}}\) takich, że \(\displaystyle{ H=\{x:A'x=b'\}}\).

[krl]

To są standardowe zadania z algebry liniowej.
1. Najpierw udowodnij, że \(\displaystyle{ H\subset\RR^n}\) jest hiperpłaszczyzną \(\displaystyle{ k}\)-wymiarową wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją \(\displaystyle{ b\in\RR^{n-k}}\) oraz odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f:\RR^n\to\RR^{n-k}}\) takie, że \(\displaystyle{ f}\) jest "na" i \(\displaystyle{ H=f^{-1}[{b}]}\). Macierz \(\displaystyle{ A}\) to macierz odwzorowania \(\displaystyle{ f}\).
Podobnie robi się 2.

[karolex123]

Można powołać się na łatwy fakt, iż każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) jest rozwiązaniem pewnego jednorodnego układu równań liniowych (o odpowiednim rzędzie, dopełniającym wymiar podprzestrzeni do \(\displaystyle{ n}\)). Odpowiednia niejednorodność da nam żądaną podprzestrzeń afiniczną

[janusz47]

Można też zastosować indukcję względem \(\displaystyle{ n.}\)

[matmatmm]

To są standardowe zadania z algebry liniowej.
1. Najpierw udowodnij, że \(\displaystyle{ H\subset\RR^n}\) jest hiperpłaszczyzną \(\displaystyle{ k}\)-wymiarową wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją \(\displaystyle{ b\in\RR^{n-k}}\) oraz odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f:\RR^n\to\RR^{n-k}}\) takie, że \(\displaystyle{ f}\) jest "na" i \(\displaystyle{ H=f^{-1}[{b}]}\). Macierz \(\displaystyle{ A}\) to macierz odwzorowania \(\displaystyle{ f}\).
Podobnie robi się 2.

Wiem, że te zadania to absolutny standard (chyba nawet pojawiają się na pierwszym roku), ale jestem zmuszony poprosić o więcej szczegółów.

[krl]

To ja proponuję tak w zad 1: niech \(\displaystyle{ B=\{b_1,\ldots,b_n\}}\) będzie taką bazą \(\displaystyle{ \RR^n}\), że wektory \(\displaystyle{ b_1,\ldots,b_k}\) tworzą bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ V}\), której warstwą (przesunięciem) jest hiperpłaszczyzna \(\displaystyle{ H}\).
Określamy odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f:\RR^n\to\RR^{n-k}}\) następująco: dla wektora \(\displaystyle{ v\in\RR^n}\) znajdujemy jego przedstawienie jako kombinację liniową \(\displaystyle{ \sum r_ib_i}\). Określamy \(\displaystyle{ f(v)=(r_{k+1},\ldots,r_n)\in\RR^{n-k}}\). \(\displaystyle{ f}\) jest liniową surjekcją z jądrem \(\displaystyle{ V}\), włókna tego odwzorowania to wszystkie warstwy \(\displaystyle{ V}\), w szczególności jedno z nich to \(\displaystyle{ H}\). Macierz \(\displaystyle{ A}\) odwzorowania \(\displaystyle{ f}\) w bazach standardowych jest dobra.
Podobnie robi się 2.

[matmatmm]

Dowód jest dla mnie jasny, ale nie wiem z czego wynika, że macierz \(\displaystyle{ A}\) jest pełnego rzędu. Nie zwróciłem na to wcześniej uwagi.

[Dasio11]

Wystarczy wykazać, że podprzestrzeń rozpięta przez kolumny tej macierzy to obraz \(\displaystyle{ f}\), a tym obrazem jest oczywiście \(\displaystyle{ \RR^{n-k}}\).

[matmatmm]

Postanowiłem spisać dowód zadania 2, który okazał się o wiele trudniejszy niż myślałem. Może komuś się przyda.

Lemat. Niech \(\displaystyle{ n\in\NN_0}\) i niech \(\displaystyle{ U}\) będzie przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ \RR}\) wymiaru \(\displaystyle{ n}\), a \(\displaystyle{ g:U\rightarrow \RR^n}\) izomorfizmem przestrzeni liniowych. Wówczas istnieje baza \(\displaystyle{ (w_1,\ldots,w_n)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ U}\) taka, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in U}\):

\(\displaystyle{ g(x)=(\alpha_1(x),\ldots,\alpha_n(x))}\)
, gdzie \(\displaystyle{ x=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i(x)w_i}\) tzn. \(\displaystyle{ (\alpha_1(x),\ldots,\alpha_n(x))}\) jest ciągiem współczynników wektora \(\displaystyle{ x}\) w bazie \(\displaystyle{ (w_1,\ldots,w_n)}\).

Dowód. Istnieje baza \(\displaystyle{ (u_1,\ldots,u_n)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ U}\). Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą przekształcenia \(\displaystyle{ g}\) w bazach \(\displaystyle{ (u_1,\ldots,u_n)}\) oraz kanonicznej przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^n}\).

\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{ccc}g(u_1)_1 & \ldots & g(u_n)_1 \\ \vdots & & \vdots \\ g(u_1)_n & \ldots & g(u_n)_n \end{array}\right] }\)

Ponieważ \(\displaystyle{ g}\) jest izomorfizmem, \(\displaystyle{ \det A\neq 0}\). Niech \(\displaystyle{ w_1,\ldots,w_n\in U}\) będą takie, że dla każdego \(\displaystyle{ k\in\{1,\ldots,n\}}\) współczynnikami \(\displaystyle{ w_k}\) w bazie \(\displaystyle{ (u_1,\ldots,u_n)}\) jest \(\displaystyle{ k}\)-ta kolumna macierzy \(\displaystyle{ B:=A^{-1}}\) tzn.

\(\displaystyle{ w_k=\sum_{i=1}^n b_{ik}u_i}\)

\(\displaystyle{ (w_1,\ldots,w_n)}\) jest bazą \(\displaystyle{ U}\), bo \(\displaystyle{ \det B\neq 0}\) (\(\displaystyle{ B}\) jest macierzą przejścia). Z odpowiedniego twierdzenia \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą przejścia w odwrotnym kierunku tzn.

\(\displaystyle{ u_k=\sum_{i=1}^n a_{ik}w_i}\) dla \(\displaystyle{ k\in\{1,\ldots,n\}}\).

W szczególności \(\displaystyle{ \alpha_i(u_k)=a_{ik}}\) dla wszyskich \(\displaystyle{ i,k\in\{1,\ldots,n\}}\).
Ustalmy \(\displaystyle{ x\in U}\). Istnieją \(\displaystyle{ \beta_1,\ldots,\beta_n\in\RR}\) takie, że \(\displaystyle{ x=\sum_{i=1}^n \beta_iu_i}\). wówczas

\(\displaystyle{ g(x)=g\left(\sum_{i=1}^n \beta_iu_i \right) =\sum_{i=1}^n \beta_ig(u_i)=\sum_{i=1}^n \beta_i\left( a_{1i},\ldots,a_{ni}\right)=\sum_{i=1}^n \beta_i\left( \alpha_1(u_i),\ldots,\alpha_n(u_i)\right)=}\)
\(\displaystyle{ =\left( \sum_{i=1}^n\beta_i\alpha_1(u_i),\ldots,\sum_{i=1}^n\beta_i\alpha_n(u_i) \right) =\left( \alpha_1\left(\sum_{i=1}^n \beta_iu_i \right),\ldots,\alpha_n\left(\sum_{i=1}^n \beta_iu_i \right) \right) =(\alpha_1(x),\ldots,\alpha_n(x))}\)

Dowód zadania 2. Niech \(\displaystyle{ n,k,l\in\NN_0}\). Załóżmy dodatkowo, że \(\displaystyle{ 0<n, l<n}\) (w przeciwnym wypadku jeden z wymiarów macierzy musiałby wynosić zero). Niech \(\displaystyle{ H=a'+V', K=a+V}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a',a\in\RR^n}\) oraz podprzestrzeni liniowych \(\displaystyle{ V'<\RR^n, V<\RR^n}\) o wymiarach odpowiednio \(\displaystyle{ k,l}\), niech \(\displaystyle{ H\subset K}\) i niech \(\displaystyle{ K=\{x\in\RR^n: Ax=b\}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ b\in\RR^{n-l}}\) oraz macierzy \(\displaystyle{ A}\) pełnego rzędu o wymiarach \(\displaystyle{ (n-l)\times n}\).

Zauważmy najpierw kolejno, że \(\displaystyle{ a'\in K}\), \(\displaystyle{ Aa'=b}\), \(\displaystyle{ K=a'+V}\), \(\displaystyle{ V'\subset V}\), \(\displaystyle{ V'<V}\), \(\displaystyle{ k\leq l}\).

Dalej zdefiniujmy funkcję \(\displaystyle{ g:\RR^n\rightarrow\RR^{n-l}}\) wzorem \(\displaystyle{ g(x)=Ax}\). Wówczas \(\displaystyle{ g}\) jest liniową suriekcją (bo macierz jest pełnego rzędu) oraz jądrem jest przestrzeń \(\displaystyle{ V}\). Istnieje podprzestrzeń \(\displaystyle{ U<\RR^n}\) taka, że \(\displaystyle{ \RR^n=V\oplus U}\). Wtedy wymiar \(\displaystyle{ U}\) wynosi \(\displaystyle{ n-l}\). Sprawdzamy następnie, że \(\displaystyle{ g|_U:U\rightarrow \RR^{n-l}}\) jest suriekcją, a co za tym idzie izomorfizmem.

Z lematu istnieje baza \(\displaystyle{ (w_1,\ldots,w_{n-l})}\) przestrzeni \(\displaystyle{ U}\) taka, że dla \(\displaystyle{ x\in U}\):

\(\displaystyle{ g(x)=(\alpha_1(x),\ldots,\alpha_{n-l}(x))}\)
, gdzie \(\displaystyle{ x=\sum_{i=1}^{n-l}\alpha_i(x)w_i}\).

Istnieje baza \(\displaystyle{ (v_1,\ldots,v_k)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V'}\). Ponieważ \(\displaystyle{ V'<V}\) można uzupełnić ją do bazy \(\displaystyle{ (v_1,\ldots,v_l)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\). Wówczas \(\displaystyle{ (v_1,\ldots,v_l,w_1,\ldots,w_{n-l})}\) jest bazą \(\displaystyle{ \RR^n}\). Określamy funkcję \(\displaystyle{ f:\RR^n\rightarrow\RR^{n-k}}\) wzorem

\(\displaystyle{ f(x)=(\gamma_1(x),\ldots,\gamma_{n-l}(x),\beta_{k+1}(x),\ldots,\beta_l(x))}\), gdzie
\(\displaystyle{ x=\sum_{i=1}^l\beta_i(x)v_i+\sum_{i=1}^{n-l}\gamma_i(x)w_i}\).

Wówczas \(\displaystyle{ f}\) jest liniową suriekcją, której jądrem jest \(\displaystyle{ V'}\). Niech \(\displaystyle{ A'}\) będzie macierzą \(\displaystyle{ f}\) w bazach kanonicznych oraz \(\displaystyle{ b':=f(a')}\). Pozostaje sprawdzić, że macierz \(\displaystyle{ A'}\) jest rozszerzeniem \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ b'}\) jest rozszerzeniem \(\displaystyle{ b}\). Pokażemy, że dla każdych \(\displaystyle{ v\in V, u\in U}\) oraz \(\displaystyle{ i\in\{1,\ldots,n-l\}}\): \(\displaystyle{ \gamma_i(v+u)=\alpha_i(u)}\). Istotnie,

\(\displaystyle{ v+u=\sum_{i=1}^{l}\beta_iv_i+\sum_{i=1}^{n-l}\alpha_i(u)w_i}\) dla pewnych \(\displaystyle{ \beta_1,\ldots,\beta_l\in\RR}\).

Dalej dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in\RR^n}\) oraz \(\displaystyle{ i\in\{1,\ldots,n-l\}}\):

\(\displaystyle{ g(x)_i=g(v+u)_i=g(v)_i+g(u)_i=g(u)_i=\alpha_i(u)=\gamma_i(v+u)=\gamma_i(x)=f(x)_i}\)

W szczególności wstawiając wektory jednostkowe przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^n}\), dostajemy, że pierwsze \(\displaystyle{ n-l}\) wierszy macierzy \(\displaystyle{ A'}\) to macierz \(\displaystyle{ A}\). Ponadto \(\displaystyle{ b_i'=f(a')_i=(A'a')_i=(Aa')_i=b_i}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ i\in\{1,\ldots,n-l\}}\).

[Dasio11]

Niech \(\displaystyle{ H = h_0 + H', K = k_0 + K'}\), tak że \(\displaystyle{ K' = \{ x : Ax = 0 \}}\). Niech \(\displaystyle{ W}\) będzie podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR^n}\) rozpiętą przez transponowane wiersze \(\displaystyle{ A}\), które oznaczmy przez \(\displaystyle{ A_1, \ldots, A_{n-l}}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ K'}\) jest dopełnieniem ortogonalnym \(\displaystyle{ W}\), bo dla \(\displaystyle{ x \in \RR^n}\) mamy

\(\displaystyle{ x \in K' \iff Ax = 0 \iff \bigwedge_{i=1}^{n-l} \left< A_i, x \right> = 0 \iff (\forall w \in W) \left< w, x \right> = 0}\).

Wybierzmy bazy ortogonalne \(\displaystyle{ u_1, \ldots, u_k}\) przestrzeni \(\displaystyle{ H'}\) oraz \(\displaystyle{ w_1, \ldots, w_{n-l}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ W}\). Z powyższego otrzymujemy, że \(\displaystyle{ (u_1, \ldots, u_k, w_1, \ldots, w_{n-l})}\) jest układem ortogonalnym, zatem uzupełnia się do bazy ortogonalnej \(\displaystyle{ (u_1, \ldots, u_k, w_1, \ldots, w_{n-l}, \ldots, w_{n-k})}\). W podobny sposób jak wyżej dowodzimy, że

\(\displaystyle{ (\forall x \in H') \bigwedge_{i=1}^{n-k} \left< w_i, x \right> = 0}\),

jeśli więc oznaczymy przez \(\displaystyle{ A'}\) macierz \(\displaystyle{ A}\) po dołączeniu transpozycji wektorów \(\displaystyle{ w_i : n-l+1 \le i \le n-k}\) jako wierszy, dostaniemy \(\displaystyle{ H' \subseteq \{ x : A'x = 0 \}}\).

Co więcej:

\(\displaystyle{ \begin{align*}
\operatorname{lin} \{ \text{wiersze } A' \} & = \operatorname{lin} \{ A_1, \ldots, A_{n-l}, w_{n-l+1}, \ldots, w_{n-k} \} \\
& = \operatorname{lin} \big( W \cup \{ w_{n-l+1}, \ldots, w_{n-k} \} \big) \\
& = \operatorname{lin} \{ w_1, \ldots, w_{n-l}, \ldots, w_{n-k} \}
\end{align*} }\)

i wymiar tej przestrzeni wynosi \(\displaystyle{ n-k}\), bo ostatni układ jest liniowo niezależny. Stąd \(\displaystyle{ \operatorname{rz} A' = n-k}\), więc z twierdzenia o indeksie mamy \(\displaystyle{ \dim \ker A' = k = \dim H'}\), a stąd \(\displaystyle{ H' = \{ x : A' x = 0 \}}\) i po łatwym rachunku \(\displaystyle{ H = \{ x : A'x = b' \}}\), gdzie \(\displaystyle{ b' = A'h_0}\).