Jak policzyć całke......

[kropka138]

Czy wie ktos może jak policzyć taką całke:

\(\displaystyle{ \int_{ \frac{\pi}{-2} }^{ \frac{\pi}{2} }( \frac{3}{2}i+re ^{it}) e ^{\pi( \frac{3}{2}i+re ^{it}) ^{2} } \cdot rie ^{it} dt}\)

[kp1311]

podstaw \(\displaystyle{ u = \frac{3}{2}i + re^{it}}\), \(\displaystyle{ du = rie^{it}dt}\) a się uprości

[kropka138]

Dzieki. Ale mi chodzilo o wyliczenie do konca bo jakos tak dziwnie mi wychodzic. Czy moglby ktos to wyliczyc do konca- bardzo prosze

[miodzio1988]

Nie. Sama sprobuj a my sprawdzimy Twoj wynik

[kropka138]

Sprobowlam juz dawno mój drogi. Dlatego prosze o zrobienie bo nie jestem pewna tego wyniku:

\(\displaystyle{ \frac{e ^{\pi x}(\pi ^{2} x-1) }{\pi ^{2} }}\)

[kp1311]

Podstawienie 1.
\(\displaystyle{ u = \frac{3}{2}i + re^{it}}\), \(\displaystyle{ du = rie^{t}}\), granice całkowania:\(\displaystyle{ u_{1}= ( \frac{3}{2}-r)i, u_{2}= ( \frac{3}{2}+r)i}\),
Dostajemy:
\(\displaystyle{ \int_{\frac{3}{2}-r)i}^{\frac{3}{2}+r)i} ue^{u^{2}}du}\)

Podstawienie 2.
\(\displaystyle{ w = u^{2}, dw = 2udu, w_{1}= -(\frac{3}{2}-r)^{2}, w_{2}= -(\frac{3}{2}+r)^{2}}\)
Dostajemy:
\(\displaystyle{ \int_{-(\frac{3}{2}-r)^{2}}^{-(\frac{3}{2}+r)^{2}}e^{w\pi}dw= \frac{1}{2\pi}[e^{\pi w}]^{-(\frac{3}{2}+r)^{2}}_{-(\frac{3}{2}-r)^{2}} = \frac{1}{2\pi}(e^{-\pi(\frac{3}{2}+r)^{2}}-e^{-\pi(\frac{3}{2}-r)^{2}} )= \frac{e^{-3\pi r} -e^{3\pi r} }{2\pi e^{\pi( \frac{9}{4} + r^{2} )}}}\)

[kropka138]

Wielkie dzieki. Mam jeszcze tylko pytanie jak policzyłeś te granice całkowania?? w 1 i 2 podstawieniu

[kp1311]

W pierwszym skorzystałem ze wzoru \(\displaystyle{ e^{i\phi}=cos\phi + isin\phi}\), a w drugim to już powinnaś wiedzieć jak

[kropka138]

tak tak drugie wiem jak. Jeszcze raz wielkie dzieki:)