Pole małego kwadratu w zależności od a

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17203
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2895 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: a4karo » 28 wrz 2019, o 08:55

No to bez kosinusów (ale koniecznie trzeba zrobić obrazek zgodny z poniższym opisem)

Linie dzielą kwadrat na dziewięć obszarów: kwadrat o boku \(\displaystyle{ b}\), cztery trójkąty prostokątne o polu \(\displaystyle{ T}\) i bokach \(\displaystyle{ p,q,a/2}\) oraz cztery trapezy o polu \(\displaystyle{ Q}\), podstawach \(\displaystyle{ p,q}\) i wysokości \(\displaystyle{ b}\)

Odcinek łączący wierzchołek dużego kwadratu ze środkiem boku ma z jednej strony długość \(\displaystyle{ a\sqrt{5}/2}\), a z drugiej \(\displaystyle{ p+b+q}\)
Pole trójkąta, który ten odcinek odcina z kwadratu jest z jednej strony równe \(\displaystyle{ a^2/4}\), zaś z drugiej \(\displaystyle{ 2T+Q}\)

Poskładajmy te fakty do kupy:
1) \(\displaystyle{ T=\frac{pq}{2}}\) - zbędne
2) \(\displaystyle{ p^2+q^2=\frac{a^2}{4}}\) - zbędne
3) \(\displaystyle{ Q=\frac{(p+q)b}{2}}\)
4) \(\displaystyle{ p+q=\frac{a\sqrt5}{2}-b}\)
5) \(\displaystyle{ a^2=b^2+4T+4Q=b^2+2(p+q)b+2pq}\)
6) \(\displaystyle{ 2T+Q=\frac{a^2}{4}}\)

Z 6) i 5) dostajemy
7) \(\displaystyle{ b^2=4T}\)

Wstawiając 7) i 4) do 5) po uproszczeniu dostajemy \(\displaystyle{ ab\sqrt5=a^2}\), co oznacza, że pole małego kwadratu jest pięć razy mniejsze niż pole dużego

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 103 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: Niepokonana » 28 wrz 2019, o 23:24

Co do podpunktu a) to nieważne, i tak udowodniłam, że to podobny kwadrat.

Dziękuję bardzo, A4karo, wprawdzie nie wiem, skąd wziął się ten pierwiastek z pięciu w trzecim akapicie, ale wierzę Ci na słowo.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17203
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2895 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: a4karo » 29 wrz 2019, o 06:24

Twierdzenie Pitagorasa

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 103 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: Niepokonana » 29 wrz 2019, o 11:56

A no tak, już widzę. Nie wyszło mi wyliczenie tego wstawienia do podpunktu 5 ale trudno.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17203
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2895 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: a4karo » 29 wrz 2019, o 15:05

Nie trudno, tylko zrób to, bo to podstawa rozwiązania

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 103 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: Niepokonana » 29 wrz 2019, o 16:34

Ale mi nie wychodzi...
Mi wychodzi, że \(\displaystyle{ a^{2}=a^{2}+b^{2}-b^{2}}\)

EDIT:
\(\displaystyle{ 4T= \frac{a-ab \sqrt{5} }{2}\\
4Q=2b\left( \frac{a \sqrt{5} }{2}-b\right) \\
a^{2}=b^{2}+ \frac{a-ab \sqrt{5} }{2}+2b\left( \frac{a \sqrt{5} }{2}-b\right)}\)


Po przekształceniu otrzymuję \(\displaystyle{ 2a^{2}=-2b^{2}+a+ab \sqrt{5} }\)
Co mam źle?
Ostatnio zmieniony 29 wrz 2019, o 22:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17203
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2895 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: a4karo » 29 wrz 2019, o 21:51

Niepokonana pisze:
29 wrz 2019, o 16:34
Ale mi nie wychodzi...

EDIT:\(\displaystyle{ 4T= \frac{a-ab \sqrt{5} }{2}}\)

Co mam źle?
Przecież tu się jednostki nie zgadają (nie da się dodać metrów do metrów kwadratowych). Szukaj błędu w rachunkach.

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 103 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: Niepokonana » 29 wrz 2019, o 22:25

Rozumiem, mógłbyś mi to policzyć?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17203
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2895 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: a4karo » 29 wrz 2019, o 22:32

Pokaż swoje obliczenia, to spróbujemy znaleźć błąd

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 103 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: Niepokonana » 29 wrz 2019, o 22:41

Na początk przepisałam to, co Ty napisałeś. Potem
\(\displaystyle{ Q= \frac{a^{2}}{4}-2T= \frac{a^{2}}{4} - \frac{b^{2}}{2} }\)
Potem \(\displaystyle{ 4T=2pq}\) i \(\displaystyle{ 4Q=2(p+q)b=2\left( \frac{a \sqrt{5} }{2} -b\right) b}\)
\(\displaystyle{ 2T= \frac{a^{2}}{4} -Q= \frac{a^{2}-ab \sqrt{5} }{4} \\
4T= \frac{a^{2}-ab \sqrt{5} }{2} }\)

No a resztę już znasz.
Ostatnio zmieniony 29 wrz 2019, o 22:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17203
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2895 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: a4karo » 30 wrz 2019, o 03:55

Ja znam, ale to Ty masz te rachunki zrobić do końca

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 103 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: Niepokonana » 30 wrz 2019, o 08:49

Człowieku, chodzi mi o to, że reszta jest parę postów wyżej, a zresztą nieważne już za późno.
reszta to te całe \(\displaystyle{ a^{2}=...}\). Trudno, czasmi się skończył.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17203
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2895 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: a4karo » 30 wrz 2019, o 10:12

Masz fajne podejście do uczenia się matematyki: czas mi się skończył - zapominam o zadaniu. W ten sposób się nie nauczysz. Co więcej, często warto myśleć dalej nawet, gdy już masz rozwiązanie.

A ponieważ zadanie wydaje sie interesujące, to jeszcze prostszy sposób rozwiązania (oznaczenia jak w poście na początku strony:
Trójkąt \(\displaystyle{ T}\) i sąsiadujący z nim krótszym bokiem trapez \(\displaystyle{ Q}\) tworzą razem trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ R}\) podobny do trójkąta o przyprostokątnych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ a/2}\) Współczynnik podobieństwa łatwo ustalić porównując długości przeciwprostokątnych.
Wynosi on \(\displaystyle{ 2/\sqrt5}\). Stąd wniosek, że pole trójkąta \(\displaystyle{ R}\) jest \(\displaystyle{ 1/5}\) pola dużego kwadratu. A ponieważ tenże składa sie z czterech takich trójkątów i małego kwadratu, to pole tego malucha też jest jedną piątą pola kwadratu


PS: do rodziców też się zwracasz per "człowieku"?

Awatar użytkownika
pesel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1573
Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 381 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: pesel » 30 wrz 2019, o 11:19

a4karo pisze:
30 wrz 2019, o 10:12
PS: do rodziców też się zwracasz per "człowieku"?
Czekałem aż ktoś na to zareaguje. BTW, jak teraz można zgłaszać posty łamiące regulamin?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17203
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2895 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: a4karo » 30 wrz 2019, o 11:56

Wykrzyknik po prawej u góry

ODPOWIEDZ