Kwadratura koła

Dział poświęcony konstrukcjom platońskim i nie tylko...
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 225
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 3 razy

Kwadratura koła

Post autor: Brombal » 13 wrz 2019, o 10:55

Tak! Wiem zadanie jest nierozwiązywalne.
Ale w warunkach zadania NIE ma ograniczeń typu:
1. linijka musi mieć skończoną długość,
2. papier również ma skończona wielkość,
3. wykonawca musi mieć możliwość wykonać zadanie w skończonym czasie,

(abstrahuję od grubości linii, ostrza cyrkla czy ilości ołówków do zużycia)

Jeżeli przyjąć brak takich ograniczeń to zadanie jest jak najbardziej rozwiązywalne. Zresztą znalazłem rozwiązanie (kupa rysowania). Potwierdzenie poprawności rozwiązania, analitycznie, jest dla mojego rozwiązania dosyć łatwe, chociaż mozolne.
Pytanie brzmi: czy takie rozwiązanie gdzie linijka jest nieskończenie długa, papier nieskończenie wielki, wykonawca ma nieskończenie dużo czasu i cierpliwości, jest rozwiązaniem zadania? Co na to fachowcy od Matematyki ;-)? Warto to przedstawić jako ciekawostkę?
Pozdrawiam

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 9 razy

Re: Kwadratura koła

Post autor: Gosda » 13 wrz 2019, o 13:36

Kwadratura koła polega na skonstruowaniu odcinka o długości \(\displaystyle{ \sqrt{\pi}}\). Jeśli masz nieskończenie wiele czasu (choć jest to sformułowanie trochę nieprecyzyjne), jest to możliwe.

1. Znaleźć rozwinięcie dwójkowe \(\displaystyle{ \sqrt{\pi} = \sum_n a_n 2^{-n}}\)
2. Rysujemy półprostą, zaznaczamy przy tym jej początek.
3. Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), odkładamy odcinek długości \(\displaystyle{ 2^{-n}}\) na naszej półprostej, z początkiem w końcu poprzedniego odcinka (albo początku półprostej, jeśli \(\displaystyle{ n = 0}\)) jeśli \(\displaystyle{ a_n = 1}\).

Po \(\displaystyle{ \aleph_0}\) krokach mamy gotowy odcinek. Ale wątpię, żeby z powyższego rozwiązania coś ciekawego wynikło.

Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 225
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 3 razy

Re: Kwadratura koła

Post autor: Brombal » 13 wrz 2019, o 14:07

Linijka nie może mieć podziałki - taki jest warunek.
Skończyłem komplet rysunków
Tak jak napisałeś skonstruowałem odcinek \(\displaystyle{ \pi}\) następnie \(\displaystyle{ \sqrt{\pi}
}\)

Peter_85
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 14 sie 2010, o 12:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 1 raz

Re: Kwadratura koła

Post autor: Peter_85 » 14 wrz 2019, o 00:34

To teraz koniecznie nam się pochwal, jak tego dokonałeś.

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 9 razy

Re: Kwadratura koła

Post autor: Gosda » 14 wrz 2019, o 07:52

Moja linijka nie ma podziałki, ale to nie problem. Zakładam tylko, że mam do dyspozycji odcinek jednostkowy.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6308
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1024 razy

Re: Kwadratura koła

Post autor: kruszewski » 14 wrz 2019, o 18:09

Kiedyś o takiej linijce bez podziałki mówiło się liniał.

Liniał z naniesioną podziałką to przymiar liniowy.

Peter_85
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 14 sie 2010, o 12:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 1 raz

Re: Kwadratura koła

Post autor: Peter_85 » 14 wrz 2019, o 21:23

No to czekamy z niecierpliwością na tę konstrukcję.

Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 225
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 3 razy

Re: Kwadratura koła

Post autor: Brombal » 15 wrz 2019, o 15:12

Gosda pisze:
13 wrz 2019, o 13:36
...

1. Znaleźć rozwinięcie dwójkowe \(\displaystyle{ \sqrt{\pi} = \sum_n a_n 2^{-n}}\)
2. Rysujemy półprostą, zaznaczamy przy tym jej początek.
3. Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), odkładamy odcinek długości \(\displaystyle{ 2^{-n}}\) na naszej półprostej, z początkiem w końcu poprzedniego odcinka (albo początku półprostej, jeśli \(\displaystyle{ n = 0}\)) jeśli \(\displaystyle{ a_n = 1}\).
...
Nie znalazłem takiego rozwinięcia
\(\displaystyle{ \sqrt{\pi} = \sum_n a_n 2^{-n}}\)
Mógłbyś przybliżyć?

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 9 razy

Re: Kwadratura koła

Post autor: Gosda » 15 wrz 2019, o 17:16

\(\displaystyle{ \sqrt{\pi}_{10} = 1.1100010110..._2}\)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=c ... +to+base+2

Można użyć podstawy 10, nie 2, tylko wtedy trzeba dzielić pierwszy odcinek na dziesięć części, nie dwie, i ewentualnie odkładać ich krotności.

Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 225
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 3 razy

Re: Kwadratura koła

Post autor: Brombal » 15 wrz 2019, o 21:53

\[\sqrt{\pi} = \sum_n a_n 2^{-n}\]
Zdaje się, że coś takiego ma wartość \(\displaystyle{ 2}\).

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 9 razy

Re: Kwadratura koła

Post autor: Gosda » 15 wrz 2019, o 22:43

Nie, bo \(\displaystyle{ a_n \in \{0, 1\}}\). Czasem zero, czasem jeden. Co więcej, jeśli uznać moje rozwiązanie, to każdą liczbę rzeczywistą (dodatnią) można przedstawić jako odcinek takiej długości.

ODPOWIEDZ