odcinki homeomorficzne
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 3 lut 2018, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
odcinki homeomorficzne
Pokaż, że odcinki \(\displaystyle{ (0,1]}\) i \(\displaystyle{ [0,1)}\) są homeomorficzne. Czy ktoś mógłby to rozwiązać? Z góry dziękuję!
Ostatnio zmieniony 17 mar 2019, o 17:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Administrator
- Posty: 34125
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: odcinki homeomorficzne
A próbowałeś sam to zrobić? Bo to bardzo elementarne zadanie (zakładając oczywiście, że mamy w obu przypadkach standardową topologię odziedziczoną z prostej).
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 3 lut 2018, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
odcinki homeomorficzne
Gdy miałem zadanie, by pokazać że odcinki \(\displaystyle{ (0, \infty ) , ( -\infty , 0)}\) są homeomorfizmem, to znalazłem po prostu funkcję \(\displaystyle{ \frac{-1}{x}}\) , lecz z powyższym przykładem nie wiem co zrobić.
Re: odcinki homeomorficzne
Ja natomiast mam zadanie, aby pokazać, że odcinki \(\displaystyle{ (0,1]}\) i \(\displaystyle{ (0,1)}\) z topologią dziedziczoną z \(\mathbb R\) nie są homeomorficzne.
Próbuję rozumować to w ten sposób:
Załóżmy, że \(\displaystyle{ (0,1]}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ (0,1)}\) (homeomorfizm to \(\displaystyle{ f:(0,1]\rightarrow(0,1)}\)).
Wtedy, przez usunięcie \(\displaystyle{ 1}\) z \(\displaystyle{ (0,1]}\) i przez jego obraz \(\displaystyle{ c=f(1)}\) w \(\displaystyle{ (0,1)}\), mielibyśmy, że \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ (0,c)\cup(c,1)}\).
Ale ponieważ \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest homeomorficzny z \(\mathbb R\), więc \(\mathbb R\) musiałby być także homeomorficzny z \(\displaystyle{ (0,c)\cup(c,1)}\) . Stąd mielibyśmy, że można zapisać \(\mathbb R\) jako suma rozłącznych, niepustych zbiorów otwartych, co jest oczywiście niemożliwe.
Czy powyższe rozumowanie ma sens?
Próbuję rozumować to w ten sposób:
Załóżmy, że \(\displaystyle{ (0,1]}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ (0,1)}\) (homeomorfizm to \(\displaystyle{ f:(0,1]\rightarrow(0,1)}\)).
Wtedy, przez usunięcie \(\displaystyle{ 1}\) z \(\displaystyle{ (0,1]}\) i przez jego obraz \(\displaystyle{ c=f(1)}\) w \(\displaystyle{ (0,1)}\), mielibyśmy, że \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ (0,c)\cup(c,1)}\).
Ale ponieważ \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest homeomorficzny z \(\mathbb R\), więc \(\mathbb R\) musiałby być także homeomorficzny z \(\displaystyle{ (0,c)\cup(c,1)}\) . Stąd mielibyśmy, że można zapisać \(\mathbb R\) jako suma rozłącznych, niepustych zbiorów otwartych, co jest oczywiście niemożliwe.
Czy powyższe rozumowanie ma sens?
Ostatnio zmieniony 11 wrz 2019, o 13:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: odcinki homeomorficzne
Powyższe rozumowanie nie tylko ma sens, ale także proste uogólnienie: funkcja "zbiór liczb \(\displaystyle{ n}\) takich, że istnieje podzbiór \(\displaystyle{ Y \subset X}\) mocy \(\displaystyle{ n}\), że zbiór \(\displaystyle{ X \setminus Y}\) ma tyle samo składowych spójności, co \(\displaystyle{ X}\)" (gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią topologiczną), jest niezmiennikiem przestrzeni topologicznych.
Brzmi skomplikowanie, ale używa się tego bardzo prosto Z odcinka domkniętego jednostronnie można usunąć jeden punkt, i dalej mamy przestrzeń spójną. Z odcinkiem otwartym to się nie udaje, więc te dwie przestrzenie nie są homeomorficzne. Podobnie: półprosta domknięta i okrąg, albo prosta i płaszczyzna, itd.
Brzmi skomplikowanie, ale używa się tego bardzo prosto Z odcinka domkniętego jednostronnie można usunąć jeden punkt, i dalej mamy przestrzeń spójną. Z odcinkiem otwartym to się nie udaje, więc te dwie przestrzenie nie są homeomorficzne. Podobnie: półprosta domknięta i okrąg, albo prosta i płaszczyzna, itd.