uprościć wyrażenie
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 18 paź 2015, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 3 razy
uprościć wyrażenie
Cześć
Mam grupę a) nieabelową, b) abelową \(\displaystyle{ (G,\circ)}\) gdzie \(\displaystyle{ e\in G}\) jest elementem neutralnym, a \(\displaystyle{ g,h\in G}\) są odwracalne. I mam uprościć wyrażenie \(\displaystyle{ g\circ h^{-1}\circ e^2\circ h^2\circ g^{-1}\circ e^{-1}\circ g^3\circ h}\). Jak mam do tego się zabrać?
Mam grupę a) nieabelową, b) abelową \(\displaystyle{ (G,\circ)}\) gdzie \(\displaystyle{ e\in G}\) jest elementem neutralnym, a \(\displaystyle{ g,h\in G}\) są odwracalne. I mam uprościć wyrażenie \(\displaystyle{ g\circ h^{-1}\circ e^2\circ h^2\circ g^{-1}\circ e^{-1}\circ g^3\circ h}\). Jak mam do tego się zabrać?
-
- Administrator
- Posty: 34348
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 18 paź 2015, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 3 razy
Re: uprościć wyrażenie
W porządku, tylko bardziej zastanawia mnie jak uprościć to wyrażenie w kontekście tego, że grupa ma lub nie ma być przemienna.
Zgodnie z definicją: \(\displaystyle{ \forall _{{a\in S}}\;e∘g=g∘e=a}\)Jan Kraszewski pisze: ↑9 wrz 2019, o 21:20 Ja bym zaczął od zrozumienia, czym jest element neutralny.
Rozumiem też, że jeżeli działanie jest przemienne, to element neutralny jednostronny jest również elementem neutralnym obustronnym (to pewnie gdzieś będzie do wykorzystania przy tej grupie abelowej/nieabelowej).
Z własności elementu neutralnego wynika (chyba ), że \(\displaystyle{ e = e^{2} = e^{-1}}\)
I teraz: \(\displaystyle{ g∘h^{−1}∘e^2∘h^2∘g^{−1}∘e^{−1}∘g^3∘h}\) upraszczając \(\displaystyle{ e}\) mam \(\displaystyle{ g∘h^{−1}∘e∘h^2∘g^{−1}∘g^3∘h}\)
Czy dalej mogę skorzystać z własności elementu odwrotnego: \(\displaystyle{ g = h^{−1}}\) oraz \(\displaystyle{ g^{−1} = h}\) ?
-
- Administrator
- Posty: 34348
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: uprościć wyrażenie
Najpierw robisz dla nieprzemiennej, a potem to co otrzymasz dalej przekształcasz korzystając z przemienności.
No to jest akurat bardzo nieprawda.
Element neutralny to element neutralny. W grupie nie ma czegoś takiego, jak "jednostronny element neutralny".
To jeszcze dalej można uprościć korzystając z własności elementu nautralnego oraz z własności elementu odwrotnego.
A skąd Ty to wytrzasnąłeś?! No chyba, że w pierwszym poście źle przepisałeś treść i elementy \(g\) i \(h\) miały być do siebie odwrotne (ale wtedy zadanie jest mało sensowne). Ale to co napisałeś to zdecydowanie nie jest własność elementu odwrotnego.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 18 paź 2015, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 3 razy
Re: uprościć wyrażenie
Przepraszam już poprawione. Późno jest
Element neutralny to element neutralny. W grupie nie ma czegoś takiego, jak "jednostronny element neutralny".
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Element_neutralny
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 18 paź 2015, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 3 razy
Re: uprościć wyrażenie
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 18 paź 2015, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 3 razy
Re: uprościć wyrażenie
Wracając \(\displaystyle{ g∘h^{−1}∘e∘h^2∘g^{−1}∘g^3∘h}\) to mogę uprościć korzystając z własności potęgowania? Wyjdzie mi ostatecznie \(\displaystyle{ e∘g^3∘h^2}\) ?
-
- Administrator
- Posty: 34348
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: uprościć wyrażenie
Ale o czym ma świadczyć ten link? Powtarzam: w grupie nie ma czegoś takiego, jak "jednostronny element neutralny".
W ten sposób nie nauczysz się matematyki, doczytując trochę to tu, tu tam.
I znów to samo. Coś znalazłeś, przeczytałeś i starasz się to używać. Uwaga, którą przytaczasz, nie ma nic wspólnego z tym zadaniem (przynajmniej w sformułowanej przez Ciebie w pierwszym poście wersji). To, że i w Twoim zadaniu i w tej uwadze są literki \(g\) i \(h\) nie znaczy jeszcze, że w obu tych miejscach znaczą to samo.yaress pisze: ↑10 wrz 2019, o 22:37Kod: Zaznacz cały
http://eigenspace.pl/herdegen_algebra.pdf
Strona 28 przed Twierdzeniem 5
Ale w której grupie: abelowej czy nieabelowej? No i to dalej nie jest najprostsza postać. Poza tym niepokój budzi stwierdzenie "korzystając z własności potęgowania".
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 18 paź 2015, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 3 razy
Re: uprościć wyrażenie
Staram się jak mogę korzystając z różnych źródeł.W ten sposób nie nauczysz się matematyki, doczytując trochę to tu, tu tam.
NieabelowejAle w której grupie: abelowej czy nieabelowej
U mnie nie Ogólnie chodziło mi o to: \(\displaystyle{ a^{m}a^{n}=a^{m+n}}\)Poza tym niepokój budzi stwierdzenie "korzystając z własności potęgowania".
-
- Administrator
- Posty: 34348
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: uprościć wyrażenie
No ale efekt jest taki, że wszystko Ci się miesza, a Twoje wyniki wskazują, że niestety nie rozumiesz pojęć, którymi operujesz. Oczywiście, i bez zrozumienia można porachować różne rzeczy, ale jak dla mnie to nie najlepsza strategia.
No to źle.
Po pierwsze, nie jest jasne, czym są \(m,n\). Jeśli liczbami naturalnymi, to jest to niewystarczające. Kluczowe jest skorzystanie z własności elementu odwrotnego, ale nie tak, jak próbujesz to robić. Pomijając już fakt, że tę "własność potęgowania" też się dowodzi...
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 18 paź 2015, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 3 razy
Re: uprościć wyrażenie
Jeszcze raz od początku.
Korzystając z tego, że w grupie działanie ma element neutralny: \(\displaystyle{ \exists_{e\in G} \ \forall_{x\in G} \ e ∘ x = x ∘ e = x}\) oraz z faktu, że grupie G istnieje dokładnie jeden element neutralny mogę zapisać, że: \(\displaystyle{ e=e^2=e^{−1}}\)
W związku z tym mogę uprościć wyrażenie \(\displaystyle{ g∘h^{−1}∘e^2∘h^2∘g^{−1}∘e^{−1}∘g^3∘h}\) do postaci \(\displaystyle{ g∘h^{−1}∘h^2∘g^{−1}∘g^3∘h}\)
Dalej dla korzystamy z własności gdzie dla dowolnej grupy \(G, x∈G\) i \(m,n∈\mathbb Z\) mamy \(x^{m+n}=x^mx^n\) i po uproszczeniu mamy:
\(\displaystyle{ g∘h∘g^{2}∘h.}\)
W przypadku grupy abelowej, korzystając z przemienności mogę to uprościć jeszcze do postaci \(\displaystyle{ g^3∘h^2.}\)
Czy teraz jest w porządku?
Korzystając z tego, że w grupie działanie ma element neutralny: \(\displaystyle{ \exists_{e\in G} \ \forall_{x\in G} \ e ∘ x = x ∘ e = x}\) oraz z faktu, że grupie G istnieje dokładnie jeden element neutralny mogę zapisać, że: \(\displaystyle{ e=e^2=e^{−1}}\)
W związku z tym mogę uprościć wyrażenie \(\displaystyle{ g∘h^{−1}∘e^2∘h^2∘g^{−1}∘e^{−1}∘g^3∘h}\) do postaci \(\displaystyle{ g∘h^{−1}∘h^2∘g^{−1}∘g^3∘h}\)
Dalej dla korzystamy z własności gdzie dla dowolnej grupy \(G, x∈G\) i \(m,n∈\mathbb Z\) mamy \(x^{m+n}=x^mx^n\) i po uproszczeniu mamy:
\(\displaystyle{ g∘h∘g^{2}∘h.}\)
W przypadku grupy abelowej, korzystając z przemienności mogę to uprościć jeszcze do postaci \(\displaystyle{ g^3∘h^2.}\)
Czy teraz jest w porządku?
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: uprościć wyrażenie
W skrócie, tak.
(Dla grup nieprzemiennych zazwyczaj pomija się znak działania, dla grup przemiennych: pisze zamiast niego plus, ale możesz zignorować tę informację teraz).
(Dla grup nieprzemiennych zazwyczaj pomija się znak działania, dla grup przemiennych: pisze zamiast niego plus, ale możesz zignorować tę informację teraz).
-
- Administrator
- Posty: 34348
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: uprościć wyrażenie
Ja jednak wrócę do tego, że fakt "dla dowolnej grupy \(G, x∈G\) i \(m,n∈\mathbb Z\) mamy \(x^{m+n}=x^mx^n\)" wymaga dowodu. Dużo prościej jest skorzystać z definicji elementu odwrotnego:yaress pisze: ↑12 wrz 2019, o 19:49W związku z tym mogę uprościć wyrażenie \(\displaystyle{ g∘h^{−1}∘e^2∘h^2∘g^{−1}∘e^{−1}∘g^3∘h}\) do postaci \(\displaystyle{ g∘h^{−1}∘h^2∘g^{−1}∘g^3∘h}\)
Dalej dla korzystamy z własności gdzie dla dowolnej grupy \(G, x∈G\) i \(m,n∈\mathbb Z\) mamy \(x^{m+n}=x^mx^n\) i po uproszczeniu mamy:
\(\displaystyle{ g∘h∘g^{2}∘h.}\)
\[g∘h^{−1}∘h^2∘g^{−1}∘g^3∘h=g∘h^{−1}∘h∘h∘g^{−1}∘g∘g^2∘h=g∘e∘h∘e∘g^2∘h=g∘h∘g^{2}∘h.\]
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 18 paź 2015, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 3 razy
Re: uprościć wyrażenie
Rzeczywiście wygląda prościej a ja za bardzo kombinowałem. Dziękuję za cenne wskazówki