Dowód lematu

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
alchem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 252
Rejestracja: 10 cze 2014, o 19:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 5 razy

Dowód lematu

Post autor: alchem »

Weźmy \(\displaystyle{ A= \{a_1,a_2,...,\}}\) jako zbiór dodatnich liczb całkowitych.
Zbiór ten posiada określone własności:
a: \(\displaystyle{ nwd\{a_1,a_2,...\}=1 }\)
b: jest zamknięty na dodawanie

Wtedy istnieje \(\displaystyle{ N < \infty}\), takie, że \(\displaystyle{ n \in A }\) dla każdego \(\displaystyle{ n \geq N}\).
Potrzebuję tego dowodu aby móc udowodnić fakt z łańcuchów Markowa, jednak nie wiem jak się za to za bardzo zabrać, trochę nie moja bajka.
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Dowód lematu

Post autor: Gosda »

To się nazywa problem monet Frobeniusa: mając nominały ze zbioru \(\displaystyle{ A}\), jaka jest największa kwota, której nie da się wypłacić? Na przykład dla \(\displaystyle{ A = \{3, 4, 3+3. 3+4, 4+4, 3+3+3, \ldots\}}\) odpowiedź brzmi \(\displaystyle{ 5}\). Twoje założenie, że zbiór jest zamknięty na dodawanie oznacza po prostu, że każdego nominału można brać dowolną ilość.

Natomiast fakt, który próbujesz udowodnić, to wg wiki kombinatoryczne twierdzenie Schura... (gdybyś chciał podrążyć temat). Explicite rozwiązanie znalazłem w : \(\displaystyle{ N = (a_1 - 1)(a_k - 1)}\), jeśli ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest rosnący i \(\displaystyle{ \operatorname{NWD} (a_1, \ldots, a_k) = 1}\).
Awatar użytkownika
alchem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 252
Rejestracja: 10 cze 2014, o 19:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Dowód lematu

Post autor: alchem »

Wielkie dzięki za naprowadzenie na temat.
ODPOWIEDZ