Udowodnić (ułamek okresowy)
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Udowodnić (ułamek okresowy)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ 10 \cdot 0,(9) - 9 = 0,(9)}\).
Jedna uwaga taka, żeby nie korzystać z tego, że \(\displaystyle{ 0,(9) = 1}\), bo to ma być dopiero dowiedzione.
Nie mam pomysłu jak można to zrobić.
Jedna uwaga taka, żeby nie korzystać z tego, że \(\displaystyle{ 0,(9) = 1}\), bo to ma być dopiero dowiedzione.
Nie mam pomysłu jak można to zrobić.
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Udowodnić (ułamek okresowy)
To zależy od znaczenia słowa "udowodnić". Czy chodzi o rachunek typu
$$10\cdot 0,(9)-9=9,(9)-9=0,(9),$$
czy jednak o posłużenie się szeregami, korzystając z
$$0,(9)=\sum_{n=1}^\infty\frac{9}{10^n}.$$
JK
$$10\cdot 0,(9)-9=9,(9)-9=0,(9),$$
czy jednak o posłużenie się szeregami, korzystając z
$$0,(9)=\sum_{n=1}^\infty\frac{9}{10^n}.$$
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Udowodnić (ułamek okresowy)
Bardzo mi się podoba to pytanie, jestem pod (jego) wrażeniem.
Właściwie to chodzi mi o wykazanie tego faktu:
Oznaczmy \(\displaystyle{ 0,(9)}\) jako \(\displaystyle{ x}\)
Wówczas \(\displaystyle{ 10x = 9,(9) = 9 + x}\).
Druga równość jest dla mnie jasna, natomiast co do pierwszej chciałbym się upewnić, że faktycznie tak jest. Czyli tak naprawdę o wykazanie równości \(\displaystyle{ 10 \cdot 0,(9) = 9,(9)}\) czyli pierwszy rachunek jako dowód jest dla mnie niesatysfakcjonujący, bo przedstawia jako oczywiste coś o co pytam.
Bardzo ciekawy jest ten szereg.
$$0,(9) = \sum_{n=1}^\infty \frac{9}{10^n} = 9 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^n} = 9 \cdot \frac{1}{10}\frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = 9 \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{10}{9}$$
Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego. To już kupuję! Jednak nadal jest dla mnie nieintuicyjnym dlaczego ten okres tak działa.
Właściwie to chodzi mi o wykazanie tego faktu:
Oznaczmy \(\displaystyle{ 0,(9)}\) jako \(\displaystyle{ x}\)
Wówczas \(\displaystyle{ 10x = 9,(9) = 9 + x}\).
Druga równość jest dla mnie jasna, natomiast co do pierwszej chciałbym się upewnić, że faktycznie tak jest. Czyli tak naprawdę o wykazanie równości \(\displaystyle{ 10 \cdot 0,(9) = 9,(9)}\) czyli pierwszy rachunek jako dowód jest dla mnie niesatysfakcjonujący, bo przedstawia jako oczywiste coś o co pytam.
Bardzo ciekawy jest ten szereg.
$$0,(9) = \sum_{n=1}^\infty \frac{9}{10^n} = 9 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^n} = 9 \cdot \frac{1}{10}\frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = 9 \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{10}{9}$$
Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego. To już kupuję! Jednak nadal jest dla mnie nieintuicyjnym dlaczego ten okres tak działa.
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Udowodnić (ułamek okresowy)
Pierwszy sposób korzysta ze szkolnej zasady, że mnożenie przez \(\displaystyle{ 10}\) liczby w zapisie dziesiętnym to przesuwanie przecinka o jedną pozycję w prawo. W szkole tej zasady nie dowodzisz, tylko korzystasz z niej.
Natomiast drugi sposób to tak naprawdę dowód tej zasady. Masz
\[10\cdot\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^n} =\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^{n-1}} =a_1+\color{\red}{\sum_{n=1}^\infty \frac{a_2}{10^{n-1}}}=a_1+\sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n+1}}{10^n},\]
gdzie \(\displaystyle{ a_n}\) jest \(\displaystyle{ n}\)-tą cyfrą rozwinięcia dziesiętnego.
JK
Edit: pomyłka w czerwonym fragmencie. Powinno być
\[10\cdot\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^n} =\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^{n-1}} =a_1+\sum_{n=2}^\infty \frac{a_n}{10^{n-1}}=a_1+\sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n+1}}{10^n},\]
Natomiast drugi sposób to tak naprawdę dowód tej zasady. Masz
\[10\cdot\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^n} =\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^{n-1}} =a_1+\color{\red}{\sum_{n=1}^\infty \frac{a_2}{10^{n-1}}}=a_1+\sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n+1}}{10^n},\]
gdzie \(\displaystyle{ a_n}\) jest \(\displaystyle{ n}\)-tą cyfrą rozwinięcia dziesiętnego.
JK
Edit: pomyłka w czerwonym fragmencie. Powinno być
\[10\cdot\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^n} =\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^{n-1}} =a_1+\sum_{n=2}^\infty \frac{a_n}{10^{n-1}}=a_1+\sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n+1}}{10^n},\]
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Udowodnić (ułamek okresowy)
Czasem bardziej intuicyjnie ludzie podchodzą do równości \(\displaystyle{ 0,(3)=\frac{1}{3}}\) niż do \(\displaystyle{ 0,(9)=1}\), choć wystarczy \(\displaystyle{ 0,(3)=\frac{1}{3}}\) pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ 3}\) by rozwiać Twoje wątpliwości.
PS To oczywiście nie dowód bo skąd niby wiadomo, że \(\displaystyle{ 0,(3)=\frac{1}{3}}\) ale takie rozumowanie oddaje intuicję co jest chyba równie istotne.
PS To oczywiście nie dowód bo skąd niby wiadomo, że \(\displaystyle{ 0,(3)=\frac{1}{3}}\) ale takie rozumowanie oddaje intuicję co jest chyba równie istotne.
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Udowodnić (ułamek okresowy)
Nie rozumiem pierwszego i (co za tym idzie) drugiego przejścia.Jan Kraszewski pisze: ↑8 wrz 2019, o 12:12
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^{n-1}} =a_1+\sum_{n=1}^\infty \frac{a_2}{10^{n-1}}=a_1+\sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n+1}}{10^n},$$
gdzie \(\displaystyle{ a_n}\) jest \(\displaystyle{ n}\)-tą cyfrą rozwinięcia dziesiętnego.
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Udowodnić (ułamek okresowy)
Pierwsze przejście to po prostu wyciągnięcie pierwszego elementu sumy przed symbol sumy, a drugie to przenumerowanie sumy.
JK
JK
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Udowodnić (ułamek okresowy)
Możliwa literówka: w środkowej sumie powinno być \(\displaystyle{ n = 2}\) pod sumą i co za tym idzie, \(\displaystyle{ a_n}\) w liczniku ułamka.
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Udowodnić (ułamek okresowy)
W rzeczy samej. Poprawiłem. Powinno być
\[10\cdot\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^n} =\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^{n-1}} =a_1+\sum_{n=2}^\infty \frac{a_n}{10^{n-1}}=a_1+\sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n+1}}{10^n},\]
JK